Kartesisches Produkt

08.11.2006, 15:59

chris85

Kartesisches Produkt

Seien A, B und C Mengen. Beweisen Sie,oder wiederlegen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels,die folgenden Aussagen:

a) $\begin{eqnarray*} (C \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} C)\cup(A \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} B) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (C \cup A) \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} (C \cup B) \end{eqnarray*}$

b) (A \ B) x C = (A x C) \ (B x C)

c) $\begin{eqnarray*} (C \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} C)\cap (A \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} B) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (C \cap A) \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} (C\cap B) \end{eqnarray*}$

Wie macht man dazu einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel? Kann mir das jemand kurz erklären?

08.11.2006, 18:01

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kartesisches Produkt
Also vielleicht solltest du kurz das kartesische Produkt erläutern

a) gibt es in der linken Darstellung ein Element (c,b) mit c aus C und b aus B?

Gruß

08.11.2006, 20:55

chris85

Auf diesen Beitrag antworten »

nein es gibt nur ein c aus a und c aus b.
Was sagt mir das nun,was kann ich daraus folgern,wie muss ich fortfahren?

08.11.2006, 21:40

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kartesisches Produkt

Zitat:

Original von chris85
Seien A, B und C Mengen. Beweisen Sie,oder wiederlegen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels,die folgenden Aussagen:

Gibt es ein solches Element auf der rechten Seite? Wenn ja, dann kann keine Gleichheit gelten.

Bei den anderen aufgaben verfährst Du ähnlich. Du beschriebst ein Element der linken Seite und schaust, ob es dann auch in der rechten Seite enthlten ist. wenn nein - hast Du dein Gegenbeispiel gefunden, wenn ja für alle, gilt Gleichheit.

08.11.2006, 22:09

chris85

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist gerade: Wie löse ich das Ding auf? Wie bekomme ich die einzelnen Produkte?Das ist das erste Mal wo ich sowas sehen und bearbeiten soll. Kannst du mir schnell erklären wie das funktioniert? vllt nur an a) damit ich die anderen beide allein vesuchen kann zu lösen.
Wäre super!

09.11.2006, 00:08

chris85

Auf diesen Beitrag antworten »

a) $\begin{eqnarray*} (C \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} C)\cup(A \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} B) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (C \times A) \cup (C \times B) \end{eqnarray*}$
b) [A \ B) x C = (A x C)

c) $\begin{eqnarray*} (C \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} C)\cap (A \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} B) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (C \cap A) \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} (C\cap B) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

zu a) wahr: wenn alle C gleich sind.
falsch: wenn es verschiedene C gibt.

Muss man die 3 Ergebnisse auch noch beweisen?

09.11.2006, 13:30

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Also machen wir ein Beispiel, ok? Ich gebe mal 3 Mengen vor und wir schauen uns die kartesischen Produkte an. Für Sonderfälle die aus meiner speziellen Wahl entstehen können, wird keine Haftug übernommen Augenzwinkern

A = {n,o,p}
B = {1,2}
C = {§, $, &, !}

Also 3 endliche Mengen, unterschiedlicher Mächtigkeit und Elemente.

Wie sieht jetzt ein Element aus C x C aus? z.B. (§, &)
Wie sieht jetzt ein Element aus A x B aus? z.B. (n, 1)
Wie sieht jetzt ein Element aus C x A aus? z.B. (&, p)
Wie sieht jetzt ein Element aus C x B aus? z.B. (!, 2)

Nun zu deiner ersten Umformung. siehst Du jetzt schon, warum sie falsch ist?

Lesen wir mal die linke Seite. Da werden 2 Sorten von 2er Tupeln vereinigt. (C x C) und (A x B). Schreib dir das mal für under Beispiel hin.

Rechte Seite (von Dir): Da tauchen offen sichtlich 2er Tupel auf, die links nicht enthalten sind! Erste Komponente aus C muss auch in der zweiten Komponente C haben! Nicht wie bei dir A oder B.

Auch bei der Rechten Seite der Aufgabe tauchhen probleme auf. Es sind dort mehr kombinationen zulässig. C in der ersten , kann auch B in der zweiten haben.

Gruß

Neue Frage »

Antworten »

Kartesisches Produkt

Verwandte Themen