Rätsel mit der 45 und der 24

20.09.2010, 09:43	PapBear	Auf diesen Beitrag antworten »
Rätsel mit der 45 und der 24 Moin, wollte heute mit meinen Nachhilfeschülern ein paar "nette" Rätsel durchgehen, die ich im Internet fand (Schülerzirkel Mathematik der HS Bremerhaven), doch nun stehe ich selbst auf dem Schlauch Werde mal die Aufgaben und meine bisherigen Ansäzte posten, vielleicht kann mir ja jemand helfen 1.) Finde die kleinste Schnapszahl, die durch 45 teilbar ist 2.) Zeige, dass $\begin{eqnarray} 21^{39}+39^{21} \end{eqnarray}$ durch 45 teilbar ist. 3.) Ist p eine Primzahl, die größer ist als 3, dass ist p² - 1 durch 24 teilbar nun zu meinen "Ansätzen" 1) Eine Schnapszahl zeichnet sich ja dadurch aus, dass alle Ziffern gleich sind, also z.B. 333. Eine solche Zahl kann, soll sie durch 45 teilbar sein, nur aus fünfen bestehen. Doweit, denke ich mal, ist das alles klar. Problem ist nun, dass die Länge der Zahl (Anzahl ihrer Ziffern) nicht bekannt ist. Durch stumpfes ausprobieren kam ich nun auf 555.555.555 Ausprobieren ist aber mathematisch so unschön. Wie muss ich ansätzen, um eine rechnerische Lösung zu bekommen? (will erstmal nur den Ansatz) 2) Der einfachste Weg wäre hier sicherlich 45 (oder ein vielfaches dessen) auszuklammern. 59 oder 315 wären hier ideale Kandidaten. 3 oder 3² auszuklammer erweist sich bei dieser Aufgabe auch nicht als wirklich schwierig. Das Problem steckt dabei dann vielmehr im anschließenden Ausklammern einer 15 oder einer 5. 3) Ist p eine Primzahl, so ist sie ungerade und ihr Quadrat somit auch. Ziehe ich nun 1 ab, habe auf jeden Fall eine gerade Zahl. Ebenso kann ist durch die binomischen Formeln folgendes aufstellen: p² - 1 = (p + 1)*(p - 1) Wenn ich nun die Gleichnung p² - 1 = 24 aufstelle, so erhalte ich für p die Lösung +-5, was ja schön ist, aber keinen Beweis darstellt. Ich stehe gerade also echt auf dem Schlauch und würde mich über ein paar Schubser in die richtige Richtung oder Ansätze sehr freuen
20.09.2010, 10:07	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rätsel mit der 45 und der 24 zumindest bei Aufgabe 1) kann ich dir einen einfachen Tipp geben, damit du nicht durch Raten auf die Lösung kommen musst: Die gesuchte Schnapszahl muss durch 5·9 teilbar sein. Die Teilbarkeit durch 5 hast du richtig erkannt. Zur Teilbarkeit durh 9 gilt: die Zahl muss eine durch 9 teilbare Quersumme haben. Dies kannst du bei einer Zahl, die ausschließlich aus 5ern besteht, nur durch 9 5er erreichen. Daher lautet die kleinste durch 45 teilbare Schnapszahl 555 555 555 .
20.09.2010, 10:15	Booker	Auf diesen Beitrag antworten »
1) wie sulo geschrieben hat 2) Teilbarkeit durch 9 ist leicht gezeigt, hast du ja auch schon geschreiben. Bei der Teilbarkeit durch 5 ist nur eintscheidet welches die letzte Ziffer ist. bei 21^n ist die letzte Ziffer immer 1, bei 39^n alterniert die letzte Ziffer immer zwischen 9 und 1. Denk mal drüber nach! 3) noch keine Idee
20.09.2010, 10:19	PapBear	Auf diesen Beitrag antworten »
5*9!!! Ja, klar! manchmal ist man echt SO blind und dösig am Montag morgen. Danke schonmal.
20.09.2010, 11:04	Booker	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist grad noch was zu drittens eingefallen: $\begin{eqnarray} p^2-1 = (p+1)\cdot (p-1) \end{eqnarray}$ p+1 und p-1 sind gerade und eine von beiden ist durch 4 teilbar -> Faktor 8 man kann leicht zeigen, dass genau eine von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen durch 3 teilbar ist -> p-1, p oder p+1 ist durch 3 teilbar. da p > 3 und prim ist, ist p-1 oder p+1 durch 3 teilbar -> Faktor 3
20.09.2010, 11:07	PapBear	Auf diesen Beitrag antworten »
So, habe die bisherigen Lösungen nun mal ausformuliert (damit ihr auch seht, dass ich dranbleibe ;-) 1) Die gesuchte Zahl kann nur aus fünfen bestehen, da die Vielfachen von 45 alternierend auf 0 oder 5 enden. Soll die gesuchte Zahl nun durch 45 teilbar sein, so muss sie als Teiler sowohl die 5, als auch die 9 besitzen, da 59=45 Eine Zahl, die nur aus Fünfen besteht ist nur dann auch durch 9 teilbar, wenn die Anzahl der Fünfen ein vielfaches von 9 darstellt. Die kleinste hier denkbare Lösung besteht somit aus 9 Fünfen, also 555 555 555 2) $\begin{eqnarray} 21^{n} \end{eqnarray}$ endet stets auf 1, während $\begin{eqnarray} 39^{n} \end{eqnarray}$ zwischen 9 und 1 wechselt. Dabei gilt für ungerade n, $\begin{eqnarray} 39^{n} \end{eqnarray}$ auf 9 endet. Dies bedeutet für die Summe $\begin{eqnarray} 21^{39} + 39^{21} \end{eqnarray}$ , dass wir die Einer 1 und 9 erhalten, was zusammen 10 ergibt. Die Gesamtsumme ist somit ein vielfaches von 10 und durch 5 teilbar. Durch Zerlegung der Potenzen lässt sich mühelos 3²=9 ausklammern, was somit einen weiteren Teiler darstellt. 5 und 3² stellen somit teile der Primfaktorzerlegung der Gesamtsumme dar und somit ist auch 3²9=45 Teiler der Gesamtsumme. Danke, dass ihr nem "Blinden" bei solch eigentlich offensichtlichen Lösungen in die richtige Richtung geschubst hat. Fehlt nur noch die zündende Idee für Aufgabe 3)
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20.09.2010, 11:09	PapBear	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, die zündende Idee kam, während ich tippt (danke Booker). Muss das nun nur noch nett ausformulieren. Danke Euche
20.09.2010, 11:17	Booker	Auf diesen Beitrag antworten »
Es freut mich, dass ich helfen konnte - das Ausformulieren überlasse ich dir. Übrigens gilt bei drittens: $\begin{eqnarray} n^2-1\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist genau dann durch 24 teilbar, wenn n eine ungerade, nicht durch 3 teilbare natürliche Zahl ist.

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