Randpunkte richtig bestimmen

20.09.2010, 10:41

bamboozle

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Randpunkte richtig bestimmen

Hallo,

Ich bin mir nicht sicher wie man richtig vorgeht wenn man Randpunkte einer Menge bestimmen will.
Meine Aufgabenstellung will nicht allzu viel von mir: Randpunkte bestimmen und die Mengen skizzieren.

Meine Vorgehensweise ist: ich skizziere mir die Mengen und sehe die Randpunkte, oder eben ich stelle sie mir vor Augenzwinkern

Augenzwinkern

das kann doch nicht alles sein oder?

Ich hätte z.B. die Mengen

1. $\begin{eqnarray*} U_1=[(x,y)\in \mathbb \mathbb R ^{2} | y<x^{2} ] \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} U_1=[(x,y)\in \mathbb \mathbb R ^{2} | 0<x^{2}+ y^{2}\leq 4 ] \end{eqnarray*}$

Zu 1. finde ich es schon sehr offensichtlich dass die Menge der Randpunkte dies ist:

$\begin{eqnarray*} \delta M= \left\{ (x,y) \in \mathbb R ^{2}| y=x^{2}\right\} \end{eqnarray*}$

Ich will das aber jetzt nicht einfach nur so hinschreiben und sagen dass das so ist. Kann ich das irgendwie richtig Schritt für Schritt zeigen?

Ich weiß dass meine Menge U_1 offen ist , und dass die Randpunkte also nicht in der Menge liegen, wie komme ich jetzt aber zu der Aussage( ohne Skizze) dass die zugehörigen Randpunkte genau y= x² sind?

zu 2. tu ich mich noch etwas schwerer, mein Ansatz wäre erstmal die Menge zu teilen. Aber wie genau gehe ich dann vor? Vor allem habe ich dann doch Randpunkte innerhalb und außerhalb der Menge, also weder offen noch abgeschlossen richtig?

Mir sind da meine Ansätze im Augenblick einfach zu chaotisch, wär toll wenn mir jemand helfen könnte das zu ordnen, bzw. mir sagen kann wenn ich was falsch mache smile

smile

20.09.2010, 11:38

Mazze

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Zitat:

Ich weiß dass meine Menge U_1 offen ist , und dass die Randpunkte also nicht in der Menge liegen, wie komme ich jetzt aber zu der Aussage( ohne Skizze) dass die zugehörigen Randpunkte genau y= x² sind?

Du könntest zeigen, dass jeder Randpunkt in $\begin{eqnarray*} \delta M \end{eqnarray*}$ liegt und dass jeder Punkt von $\begin{eqnarray*} \delta M \end{eqnarray*}$ ein Randpunkt ist. Dann hast Du es.

Zur zweiten :

Zunächst ist die Bedingung, dass die Summe zweier Quadrate größer Null sein soll, überflüssige Information. Als nächstes erinnere Dich mal an bestimmte Geometrische Objekte der Ebene die Du aus der Schule kennst. Eines davon beschreibt die Menge nämlich.

20.09.2010, 11:40

IfindU

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RE: Randpunkte richtig bestimmen
Bei der ersten würde ich die Definition von Rand benutzen, wodurch um jede Kugel um einen beliebigen Randpunkt sowohl mindestens ein Punkt in der Menge und einer außerhalb liegt.

Bei der zweiten überlege mal, welche Figur $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ beschreibt.

20.09.2010, 12:33

bamboozle

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Habe ich so undeutlich ausgedrückt was mein Problem ist? traurig

traurig

@Mazze

Zitat:

Du könntest zeigen, dass jeder Randpunkt in $\begin{eqnarray*} \delta M \end{eqnarray*}$ liegt und dass jeder Punkt von $\begin{eqnarray*} \delta M \end{eqnarray*}$ ein Randpunkt ist. Dann hast Du es.

gerade da liegt ja mein Problem, das erscheint mir völlig logisch, nur wie "zeige" ich das? Hatte ich das nicht sogar gefragt?

Also ich weiß einiges über die Definitionen, was Randpunkte sind, dass sie auch im Komplement von der Menge enthalten sind und und und...Ich kann diese ganzen Informationen nur einfach nicht schriftlich so verwerten, dass ich am Ende irgendetwas "gezeigt" habe.

zu 2.

Und dass x²+y²<0 ist schließt ja immerhin alle x,y = 0 aus, also finde ich die Information doch gar nicht so überflüssig oder?
weil dann doch x,y= 0 ein Randpunkt ist der nicht in der Menge liegt, und alle anderen Randpunkte mit x²+y²<=4 liegen IN der Menge, ist das nicht eine wichtige Information?

20.09.2010, 12:38

bamboozle

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x²+y² soll wohl einen Kreis bescheiben, der hätte dann doch ein Loch oder nicht?

20.09.2010, 12:38

Mazze

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Zu zweitens :

Stimmt, Du hast völlig recht. Die (0,0) gehört nicht dazu. Gut aufgepasst!

Ja, es handelt sich um einen Kreis mit Radius 2 der in (0,0) ein "Loch" hat.

Zu erstens :

Schreib doch mal die definition eines Randpunktes in Formeln hin!

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20.09.2010, 12:56

bamboozle

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in Formeln? heißt das so?

du meinst sowas wie $\begin{eqnarray*} \delta M = M\cap \mathbb R ^{n}\backslash M \end{eqnarray*}$
oder sowas (hoffe alles richtig benutzt zu haben)
$\begin{eqnarray*} \forall \vec{a} \in \delta M \exists (\vec{a} _n), (\vec{b}_n) | \vec{a}_n \in M, \vec{b}_n \in \mathbb R ^{n}\backslash M : \vec{a}_n \rightarrow a, \vec{b}_n \rightarrow a \end{eqnarray*}$

naja, sehe nicht wie mir das helfen könnte?

20.09.2010, 13:09

Mazze

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Hm, die Definition hab ich noch nie gesehen. Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu finden ist trivial, warum?

Die Folge b_n wählst Du so

$\begin{eqnarray*} b_n = a + c_n \end{eqnarray*}$

wobei c_n eine geeignete Nullfolge ist. Warum geht das?

20.09.2010, 13:25

bamboozle

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Muss es nicht auch eine Folge innerhalb der Menge geben die gegen $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ konvergiert wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ein Randpunkt ist?
Diese Definition heißt ja eigentlich nichts anderes als wenn ich einen Randpunkt a nehme, dass er dann Randpunkt ist wenn sowohl eine Folge aus dem Komplement meiner Menge, sowie eine Folge aus der Menge selbst gegen ihn konvergiert.
genau das verstehe ich aber schonmal nicht, wieso irgendeine Folge?

wie wähle ich eine geeignete Folge und was mache ich dann damit?

Sorry, in Sachen "zeigen" bin ich echt absolut langsam und unkreativ unglücklich

unglücklich

20.09.2010, 13:37

bamboozle

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Zitat:

Original von bamboozle
$\begin{eqnarray*} \delta M = M\cap \mathbb R ^{n}\backslash M \end{eqnarray*}$

sorry, das war etwas falsch... anstelle von M sollte das der Abschluss von M sein sowie der Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \backslash M \end{eqnarray*}$
wobei mir das mit dem Abschluss auch noch ein wenig schleierhaft ist

20.09.2010, 13:39

Mazze

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Hm, stimmt. Tatsächlich reicht

$\begin{eqnarray*} a_n = a - c_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n = a + c_n \end{eqnarray*}$

für eine geeignete Nullfolge $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ . Denke nicht kompliziert, die Nullfolge c_n ist wirklich eine der Paradebeispielnullfolgen. Und bedenke immer $\begin{eqnarray*} a = x^2 \end{eqnarray*}$ für ein x.

Zitat:

Sorry, in Sachen "zeigen" bin ich echt absolut langsam und unkreativ

Ohne herablassend klingen zu wollen, dann studierst Du das falsche. Gerade die Mathematik verlangt kreativität. Aber beweisen kann man bis zu einem gewissen grad auch lernen.

20.09.2010, 14:03

bamboozle

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meinst du eine Folge wie 1/n oder 1/n² ? Ich kann mir zwar vorstellen warum es solch eine Folge gibt, aber wieso die beliebig sein kann, und wie ich überhaupt auf die Idee komme eine solche zu brauchen das frage ich mich noch!

was das beweisen betrifft, da hast du recht soetwas kann man lernen, dafür bin ich ja hier smile

smile

habe schon diverse andere Dinge gelernt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich studiere aber auch nicht Mathematik und muss nicht besonders oft irgendetwas "mathematisch" zeigen, vielleicht fehlt mir da auch einfach die Übung

20.09.2010, 14:09

Mazze

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Du musst für jeden Punkt eine Folge finden. Wenn Du für jeden Punkt direkt eine Folge angeben kannst die die geforderten Eigenschaften erfüllt, bist Du fertig. Und ja, $\begin{eqnarray*} c_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ geht.

Du musst jetzt natürlich noch zeigen das $\begin{eqnarray*} b_n \to a, a_n \to a, b_n \in \mathbb{R}^n \setminus M, a_n \in M \end{eqnarray*}$ gilt.

20.09.2010, 14:26

bamboozle

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Also, 1/n sollte doch für alle Punkte Funktionieren. Aber sollte es nicht solche Folgen auch für Punkte innerhalb der Menge geben?

20.09.2010, 14:32

Mazze

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Punkte innerhalb der Menge sind für den Rand doch völlig unerheblich. Du solltest mal ordnen was Du zeigen willst.

20.09.2010, 14:49

bamboozle

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hm, also ich kommte mit meinem Verständnis einfach nicht weiter.

Also nochmal: Wie komme ich von y<x² darauf dass y=x² Randpunkte sind? mit welchem Weg kann ich das machen, vom einem zum andern, wie sind da die Schritte?

Dass es eine Folge gibt die gegen die Randpunkte die ich ja schon habe konvergiert, finde ich ist doch eher ein Beweis von hinten nach vorne oder nicht?

Also rein mündlich erkläre ich mir das ja einfach nur so: dadurch dass ich am Rand dieser Menge immer eine Umgebung um den jeweiligen Punkt a habe die komplett in der Menge liegt (da es sich ja nunmal um die Reellen Zahlen handelt) ist die Menge ja schonmal offen. Das Komplement dieser Menge ist dann also abgeschlossen. Der Rand des Komplements ist auch y=x² ... Und in beiden Fällen einfach weil es die Schnittstelle von beiden Mengen ist.
Soweit zu meinem Verständnis. Und nun weiß ich aber nicht wie ich das so ausdrücken kann dass das sinnvoll erklärt warum das die Randpunkte sind.

20.09.2010, 14:54

Mazze

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Zitat:

Dass es eine Folge gibt die gegen die Randpunkte die ich ja schon habe konvergiert, finde ich ist doch eher ein Beweis von hinten nach vorne oder nicht?

Nein wieso? Du hast eine Vermutung was die Randpunkte sind. Die Vermutung stützt Du mit einem Beweis. Sei

$\begin{eqnarray*} A = \{y \in \mathbb{R} : y = x^2 \text{ für } x \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} a_n = a - \frac{1}{n} \to a \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} b_n = a + \frac{1}{n} \to a \end{eqnarray*}$

Jetzt musst Du noch zeigen , dass die beiden Folgen jeweils auch in den zugehörigen Mengen liegen (trivial). Damit folgt

$\begin{eqnarray*} A \subset \delta M \end{eqnarray*}$

Jetzt musst Du nur noch zeigen dass $\begin{eqnarray*} \delta M \subset A \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt $\begin{eqnarray*} A = \delta M \end{eqnarray*}$

20.09.2010, 15:06

bamboozle

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Zitat:

Original von Mazze
[QUOTE]
Jetzt musst Du noch zeigen , dass die beiden Folgen jeweils auch in den zugehörigen Mengen liegen (trivial). Damit folgt

$\begin{eqnarray*} A \subset \delta M \end{eqnarray*}$

Jetzt musst Du nur noch zeigen dass $\begin{eqnarray*} \delta M \subset A \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt $\begin{eqnarray*} A = \delta M \end{eqnarray*}$

hm, was sind denn diese Folgen? heißt dass genauer gesagt: es gibt Folgen für alle $\begin{eqnarray*} \vec{a}= x,y \end{eqnarray*}$ mit y=x² so dass diese Punkte abzüglich dieser Folgen gegen eben diesen Punkt konvergieren? Das heißt doch nichts anderes als dass bis kurz vor diesen Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ alle reellen Zahlen mit y<x² liegen !? Also ehrllich ich komme immer noch nicht hinter den Sinn der Folgen...

20.09.2010, 15:07

bamboozle

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mir ist eben nicht klar warum das trivial ist, oder wie man das zeigen würde bzw. wie ich die Rückrichtung zeigen würde

20.09.2010, 15:27

Mazze

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Du sollst zeigen das es für alle Elemente a der Menge A zwei Folgen gibt, die beide gegen a konvergieren, und wo die eine Folge vollständig in M und die andere Folge vollständig im Komplement von M ist. Das ist eure Definition von Randpunkt.

Ich habe dir für jedes Element der Menge A eine zugehörige Folge gegeben. Und den wirklich trivialsten Teil dir überlassen. Aber nagut :

Wir wissen das $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ , damit gibt es ein x in den reellen Zahlen, so dass

$\begin{eqnarray*} a = x^2 \end{eqnarray*}$ ist. Dann ist natürlich

$\begin{eqnarray*} a_n = x^2 - \frac{1}{n} < x^2 \end{eqnarray*}$ für alle n, damit ist $\begin{eqnarray*} a_n \in M \end{eqnarray*}$

Analog

$\begin{eqnarray*} b_n = x^2 + \frac{1}{n} > x^2 \end{eqnarray*}$ für jedes n, und damit $\begin{eqnarray*} b_n \in \mathbb{R} \setminus M \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} A \subset \delta M \end{eqnarray*}$ . Nun zu $\begin{eqnarray*} \delta M \subset A \end{eqnarray*}$ , nehmen wir an x wäre ein Randpunkt der nicht A liegt, was gilt dann?

20.09.2010, 16:00

bamboozle

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Zitat:

Original von Mazze
Du sollst zeigen das es für alle Elemente a der Menge A zwei Folgen gibt, die beide gegen a konvergieren, und wo die eine Folge vollständig in M und die andere Folge vollständig im Komplement von M ist. Das ist eure Definition von Randpunkt.

ok, das erklärt mir was das soll smile

smile

Aber so wie ich das verstehe besteht die Menge
$\begin{eqnarray*} A = \{y \in \mathbb{R} : y = x^2 \text{ für } x \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$
nur aus den y-Elementen?

Die Elemente des Randes gehören doch dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ an. Dann kann die Menge des Randes doch gar nicht Teilmenge von A sein?

20.09.2010, 16:08

Mazze

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Hm, sehr gut. Dann sind meine Beweise zwar hinfällig , aber sie sollten reichen um dir ein Bild zu machen damit Du es selbst schaffst. Korrekt wäre :

$\begin{eqnarray*} A = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y = x^2\right\} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ musst Du jetzt natürlich Folgen im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ finden, die gegen a konvergieren , und in den entsprechenden Mengen vorhanden sind.

20.09.2010, 16:18

bamboozle

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Ja, so habe ich mir die Menge dann auch hingeschrieben, was für mich aber noch ein Unterschied zu sein scheint, ist , dass hier dann ja sowohl x von y als auch y von x abhängt, im anderen Fall war es nur dass y von X abhängt.

Ich weiß noch nicht so recht wie ich eine vektorwertige Folge finden kann. Bastle ich die genauso also mit jeweils 2 Komponenten :

$\begin{eqnarray*} \vec{a}_n= \begin{pmatrix} x- \frac{1}{n} \\ y - \frac{1}{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei ich das doch auch so schreiben könnte
$\begin{eqnarray*} \vec{a}_n= \begin{pmatrix} x- \frac{1}{n} \\ x² - \frac{1}{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder so
$\begin{eqnarray*} \vec{a}_n= \begin{pmatrix} \sqrt{y}- \frac{1}{n} \\ y - \frac{1}{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das finde ich etwas sehr verwirrend!

20.09.2010, 16:20

Mazze

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Sieht alles schon nicht verkehrt aus. Du möchtest eine Folge haben die von "aussen" gegen

$\begin{eqnarray*} a = (a_1,a_2) = (x,x^2) \end{eqnarray*}$

konvergiert und von "innen". Ich würde zum Beispiel für innerhalb die Folge so wählen :

$\begin{eqnarray*} a_n = \left(x,x^2 - \frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

Wie könnte man jetzt eine für ausserhalb wählen?

20.09.2010, 16:30

bamboozle

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Kann ich nicht einfach zeigen dass für einen Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung existiert mit
$\begin{eqnarray*} K_\delta (\vec{a})= \left\{ \vec{v} \in \mathbb R^2 |\vec{v} -\vec{a}|< \delta\right\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ >0 die einerseits Punkte aus M und andererseits Punkte aus R²\M enthält?

20.09.2010, 16:31

bamboozle

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$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ soll hier aus der eben genannten Menge A stammen

20.09.2010, 16:34

bamboozle

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Zitat:

Original von Mazze

$\begin{eqnarray*} a_n = \left(x,x^2 - \frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

dass man dies nehmen könnte kann ich mir vorstellen, also reicht es sich einfach nur mit einer Komponente anzunähern?

Für außerhalbt würde ich das ganze dann so nehmen
$\begin{eqnarray*} a_n = \left(x,x^2 + \frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

20.09.2010, 16:34

bamboozle

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ist es egal das ich das auch durch y ausdrücken könnte?

20.09.2010, 18:21

Mazze

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Zitat:

Kann ich nicht einfach zeigen dass für einen Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung existiert mit $\begin{eqnarray*} K_\delta (\vec{a})= \left\{ \vec{v} \in \mathbb R^2 |\vec{v} -\vec{a}|< \delta\right\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ >0 die einerseits Punkte aus M und andererseits Punkte aus R²\M enthält?

So hätte ichs gemacht. Aber Du hast mir ja eure Definition präsentiert.

Zitat:

dass man dies nehmen könnte kann ich mir vorstellen, also reicht es sich einfach nur mit einer Komponente anzunähern? Für außerhalbt würde ich das ganze dann so nehmen $\begin{eqnarray*} a_n = \left(x,x^2 + \frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

Mal Dir doch einfahc mal den Punkt (x,x² - 1/n) für n =1, n = 2 usw direkt ins Koordinatensystem. Dann siehst du warum das geht. Deine zweite Folge is korrekt!

Zitat:

ist es egal das ich das auch durch y ausdrücken könnte?

ob Du $\begin{eqnarray*} (x,x^2) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (x,y) \text{ mit } y = x^2 \end{eqnarray*}$ schreibst ist völlig unerheblich.

20.09.2010, 19:58

bamboozle

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Zitat:

Zitat:

Kann ich nicht einfach zeigen dass für einen Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung existiert mit $\begin{eqnarray*} K_\delta (\vec{a})= \left\{ \vec{v} \in \mathbb R^2 |\vec{v} -\vec{a}|< \delta\right\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ >0 die einerseits Punkte aus M und andererseits Punkte aus R²\M enthält?

So hätte ichs gemacht. Aber Du hast mir ja eure Definition präsentiert.

hm, ich hab eigentlich nur irgendeine genommen, weil ich ja nicht wusste worauf das hinaus läuft. Aber ist ja ganz gut, dann kenne ich zwei Wege.

Das mit er $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung finde ich da etwas einleuchtender, nach all den Definitionen die ich so habe.

Ich werde mich später nochmal an beidem versuchen, und dann präsentiere ich mal wie weit ich gekommen bin smile

smile

Danke aber schonmal für deine Hilfe!

21.09.2010, 08:30

Mazze

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Tatsächlich sind beide Definitionen für normierte Räume äquivalent. Wenn in jeder Umgebung zu einem Punkt a ein Punkt innerhalb und ausserhalb existiert, so kann ich mit diesen Punkten zwei Folgen mit den genannten Eigenschaften konstruieren.
Haben wir andererseits zwei Folgen wie definiert, so finden wir zu jeder Epsilonumgebung um den Punkt sogar unendlich viele Punkte in und ausserhalb der Menge.
Ob die Definitionen auch in ganz allgemeinen Topologien äquivalent sind, möchte ich hier nicht behaupten.

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