Kurvendiskussion im R²

20.09.2010, 11:04

SpOon27

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Kurvendiskussion im R²

Meine Frage:
Guten Morgen,
habe folgende Aufgabe bestimme kritische Stellen von
f(x,y) = $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{3}x³+y²+\frac{1}{48} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
also ich habe zuerst
f´x(x,y) = $\begin{eqnarray*} (x²+y)e^{\frac{1}{3}x³+y²+\frac{1}{48} } \end{eqnarray*}$
f´y(x,y) = $\begin{eqnarray*} (2y+x)e^{\frac{1}{3}x³+y²+\frac{1}{48} } \end{eqnarray*}$

So dann muss ich die Nullstellen für den Fall y = 0
bei der f´x(x,y) finden
wenn ich y = 0 setze bekomme ich

$\begin{eqnarray*} (x²)e^{\frac{1}{3}x³+\frac{1}{48} } \end{eqnarray*}$

so um das e wegzubekommen würde ich die Umkehrfkt verwenden

dann bekomme ich

ln $\begin{eqnarray*} (x²)e^{\frac{1}{3}x³+\frac{1}{48} } \end{eqnarray*}$
da kann ich nach den Regeln auch so schreiben denke ich

ln x² + ln $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{3}x³+\frac{1}{48} = 0 } \end{eqnarray*}$
=>
ln x² + $\begin{eqnarray*} {\frac{1}{3}x³+\frac{1}{48} = 0 } \end{eqnarray*}$

aber was mache ich dann ?
oder kann es sein, dass ich nur das x² betrachte,
weil eine normale e Funktion keine Nullstellen besitzt?

20.09.2010, 11:12

Johnsen

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Hi!

Beim ersten Durchlesen fällt mir auf, dass deine Ableitungen bezüglich x und y nicht so ganz stimmen.

$\begin{eqnarray*} f'_x(x,y) = x^2 \cdot e^{\frac{1}{3}x³+y²+\frac{1}{48} } \end{eqnarray*}$

Denn das y wird ja hier festgehalten und als Konstante angesehen. ebenso dann bei der partiellen Ableitung nach y. Überprüf das bitte nochmal!

Gruß

Johnsen

20.09.2010, 11:36

SpOon27

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habe das y² doch dabei behalten also bei f´x(x,y)
nur für die Nullstellen setze ich y = 0 deshalb fällt das weg oder nicht?
ups habe nen wichitgen Term vergessen
die Funktion heisst:

$\begin{eqnarray*} f (x,y) = e^{\frac{1}{3}x³+y²+xy+\frac{1}{48} } \end{eqnarray*}$

20.09.2010, 11:39

Johnsen

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Aber für mich sieht es so aus, als wenn du beim nachdifferenzieren das y auch noch mitnimmst, dabei fällt das ja weg, da wir nur nach x ableiten! Es sollte für die Ableitung von f nach der Variablen x folgendes herauskommen:

$\begin{eqnarray*} f'_x(x,y) = x^2 \cdot e^{\frac{1}{3}x³+y²+\frac{1}{48} } \end{eqnarray*}$

20.09.2010, 11:46

SpOon27

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aber stimmt das den,
dass ich annehmen kann das die e Fkt. keine Nullstellen hat und dann nur x² betrachte.
Würde ja dann bedeuten, dass ich eine doppelte Nullstelle bei 0 habe oder?

20.09.2010, 11:48

Johnsen

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edit: Ok alles zurück. Da du nicht alles in den ersten Post geschrieben hast sondern was vergessen hast, stimmen deine Ergebnisse der partiellen Ableitungen!!

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20.09.2010, 11:59

SpOon27

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Habe ne Frage bezüglich des späteren Verlaufs, muss dann später die Hessematrix aufstellen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} fxx & fxy \\ fxy & fyy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

fxx ist die 2te Ableitung nach x und fyy die 2te Ableitung nach y
aber was sind die anderen beiden?

Habe die Lösung:

fxy ist f´x(x,y) nach y ableiten und fyx ist f´y (x,y) nach x ableiten

20.09.2010, 12:14

Johnsen

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die andere ist die 2.Ableitung, wobei einmal zuerst die ableitung nach x udn dann nach y gemacht wurde und umgekehrt. Das Ergebnis ist aber das gleiche (Satz von Schwarz), da es eine zweimal stetig partiell diff.bare Funktion ist!

also gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial_x \partial_y} = \frac{\partial^2 f}{\partial_y \partial_x} \end{eqnarray*}$

Gruß

Johnsen

20.09.2010, 12:21

Johnsen

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Aber zurück zu deiner Hauptfrage:

$\begin{eqnarray*} f'_x(x,y) = (x²+y)e^{\frac{1}{3}x³+y²+\frac{1}{48} } = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'_y(x,y) = (2y+x)e^{\frac{1}{3}x³+y²+\frac{1}{48} } = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist dann erfüllt, wenn die Klammern vor der e-Funktion jeweils 0 sind. So kannst du die kritischen Punkte herausfinden und mit Hilfe der Hessematrix dann klassifizieren! Kannst du mir die kritischen Punkte nennen?

20.09.2010, 12:22

SpOon27

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danke schonmal dafür
wäre dann ein Punkt z.B.

(1,-1)?

20.09.2010, 12:43

SpOon27

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habe schon mal die 2ten Ableitungen gebildet

$\begin{eqnarray*} fxx = e^{\frac{1}{3}x³+y²+xy+\frac{1}{48}} \end{eqnarray*}$ * (2x+(x²+y)²)

$\begin{eqnarray*} fyy = e^{\frac{1}{3}x³+y²+xy+\frac{1}{48}} * (2+(x+2y)) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} fxy = e^{\frac{1}{3}x³+y²+xy+\frac{1}{48}} * (1+(2y+x)) \end{eqnarray*}$

ist das denn dann soweit richitg?

20.09.2010, 12:51

Johnsen

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Zitat:

wäre dann ein Punkt z.B. (1,-1)?

Setz den Punkt in die erste Ableitung ein udn schau, ob 0 herauskommt!

Aber man löst das nicht durch raten, sondern indem man ein Gleichungssytem löst:

(I) x²+y=0
(II) 2y+x = 0

20.09.2010, 13:09

SpOon27

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wenn ich x²+y = 0 setze bekomme

$\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{-y} \end{eqnarray*}$

und 2y+x=0

ergibt y = - 1/2 x

20.09.2010, 13:13

Johnsen

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zunächst einmal muss es x = heißen in deinem letzten Post!

Und du kannst auch einfach (I) nach y auflösen und dann in (II) einsetzen.

20.09.2010, 13:26

SpOon27

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gut dann mach ich das mal so

somit folgt

1) y = -x²

setze in 2)
und erhalte

2(-x²)+ x =0

<=> -2x²+x = 0
<=> x(1-2x) = 0
<=> x1 = 0 und 1-2x= 0 1/2 = x2

20.09.2010, 13:27

Johnsen

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es heißt hier +x:

2(-x²) + x =0

20.09.2010, 13:30

SpOon27

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ja habe ich auch gesehen, habe das bereits editiert
danke

aber sind das den jetzt nicht nur 2 kritische stellen

20.09.2010, 13:32

Johnsen

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Ja, es gibt 2 kritische Stellen nämlich (x,y)=(0,0) und (x,y)=(1/2 , -1/4)

20.09.2010, 13:36

SpOon27

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Vielen Dank,
muss jetzt erstmal weg versuche mich dann
später mal an dem rest

22.09.2010, 19:56

SpOon27

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habe dann noch mal ne frage bezüglich der kritischen Stellen
ich bilde dann doch die Hesse Matrix
mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} fxx & fxy \\ fxy & fyy \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann setze ich z.B. die kritische Stelle (0,0) bei

$\begin{eqnarray*} fxx = (2x+(x²+y)²) e^{\frac{1}{3}x³+y²+xy+\frac{1}{48} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fyy = (2+(2y+x)²) e^{\frac{1}{3}x³+y²+xy+\frac{1}{48} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fxy = (1+((x²+y)(2y+x))e^{\frac{1}{3}x³+y²+xy+\frac{1}{48} } \end{eqnarray*}$

ein

und erhalte

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & e^{\frac{1}{48} } \\ e^{\frac{1}{48} } & 2e^{\frac{1}{48} } \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richitg?
wäre nett wenn mal jmd drüber schaut

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