Beweisen durch Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung

20.09.2010, 11:46

Beweisen durch Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung

Hallo,
als Klausuraufgabe aus einem vorigen Jahrgang habe ich diese Aufgabe gefunden:
f ist eine stetige, reellwertige Funktion.
Zu beweisen ist dann für a=-x und b=x:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\int_a^b \! f(t) \, dt= 2*f(0) \end{eqnarray*}$
Und zwar 1. mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung und 2. Mit dem Hauptsatzder Differential- und Integralrechnung.

1. Fand ich leicht. Bei 2. habe ich allerdings ein Problem.
Ich komme so weit:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\int_a^b \! f(t) \, dt=\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}*(F(x)-F(-x)) \end{eqnarray*}$

DIesen Ausdruck kann ich ja jetzt ohne weiteres nicht weiter bestimmen. Deshalb habe ich mit l`Hospital weiter gemacht:
Betrachte $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{h^{1}(x) }{g^{1}(x)} \end{eqnarray*}$
Wobei $\begin{eqnarray*} h^{1}(x) \end{eqnarray*}$ die erste Ableitung von $\begin{eqnarray*} h(x)=F(x)-F(-x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^{1}(x) \end{eqnarray*}$ die erste Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$ sein soll.

Jetzt ist natürlich die Frage, ob dieser GRenzwert existiert. Das kann man aber doch aus der Stetigekti von f folgern, oder?
Dann wäre
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{h^{1}(x) }{g^{1}(x)}=\lim_{x \to 0}f(x)-f(-x)=\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}*(F(x)-F(-x)=\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\int_a^b \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Dann müsste ja aber, damit das richtige Ergebnis rauskommt $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ sein??
Denn wegen der Stetigkeit von f ist doch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)=f(0) \end{eqnarray*}$ , oder? Hm, irgendwas stimmt da nicht.

Kann mir hier jemand weiter helfen?

20.09.2010, 11:50

Mazze

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L'Hospital anwenden ohne die Voraussetzungen zu überprüfen? Du musst hier nur einen üblichen Trick anwenden :

$\begin{eqnarray*} x = x + 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = F(x) - F(0) + F(0) \end{eqnarray*}$

20.09.2010, 14:33

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Danke schön!
Aber irgendiwe verstehe ich den Trick nicht.
l`Hospital brauche ich doch trotzdem, damit ich von den Stammfunktionen zurück zu meinem f komme? Wie kann ich denn zeigen, dass der limes der Ableitungen existiert?
Ich steh gerade völlig auf dem SChlauch.

20.09.2010, 14:36

Mazze

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{F(x) - F(-x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{F(x) - F(-x) + F(0) - F(0)}{x + 0} \end{eqnarray*}$

Erkennst Du die zwei Differenzialquotienten ? Den einen sieht man sofort, den anderen muss man kurz "behandeln". Und es ist ratsam, nicht all zu schnell zu L'Hospital zu greifen.

20.09.2010, 16:18

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Ok, jetz hab ich was. Bei einem SChritt bin ich mir allerdings nicht sicher, ob meine Begründung stimmt:

$\begin{eqnarray*} f(0)=\lim_{x \to 0} \frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{F(x)-F(0)}{x+0} \end{eqnarray*}$
Außerdem ist
$\begin{eqnarray*} f(0)=\lim_{x \to 0} \frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{-x \to 0} \frac{F(-x)-F(0)}{(-x)-0} \end{eqnarray*}$ (Das gilt immer, oder?)
Das ist aber gleich
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{F(-x)-F(0)}{-x-0} \end{eqnarray*}$
, weil der Limes existiert und somit der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen sein muss. (Das ist die Stelle an der ich bezüglich meiner Argumentation unsicher bin.)
und das ist gleich
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{-F(-x)+F(0)}{x+0} \end{eqnarray*}$

KAnn mir jemand sagen, ob da noch ein Fehler dirn ist, und ob die Begründung so stimmt?

21.09.2010, 13:10

Mazze

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Naja, das ist schon sehr unsauber arugmentiert. Es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{F(x) - F(-x) + F(0) - F(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x - 0} - \frac{F(-x) - F(0)}{x - 0} \end{eqnarray*}$

Der erste Summand konvergiert gegen f(0) , der zweite gegen -f(0), warum?

21.09.2010, 15:08

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Danke Mazze!
Nächster Versuch:

Sei
$\begin{eqnarray*} g(x):=\frac{F(x)-F(0)}{x-0} \end{eqnarray*}$ Dann existiert der $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} g(x)=f(o) \end{eqnarray*}$
Außerdem gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} g(x)= \end{eqnarray*}$ Rechtsseitiger limes von g(x) und gleich linksseitiger Limes von g(x).
Im Allgemeinen gilt:
Rechtsseitiger Limes (x->0) von g(x)=Linksseitiger Limes von g(-x) und umgekehrt. Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} g(x)=\lim_{x \to 0} g(-x) \end{eqnarray*}$

Damit:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{F(-x)-F(0)}{x-0}=-\lim_{x \to 0} \frac{F(-x)-F(0)}{-x+0}=-\lim_{x \to 0} \frac{F(-x)-F(0)}{-x-0}=-\lim_{x \to 0} g(-x)= -\lim_{x \to 0} g(x)=-\lim_{x \to 0} \frac{F(x)-F(0)}{x-0}=-f(0) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

21.09.2010, 15:18

Mazze

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Zitat:

Im Allgemeinen gilt:
Rechtsseitiger Limes (x->0) von g(x)=Linksseitiger Limes von g(-x) und umgekehrt. Daraus folgt

Die Aussage ist falsch. Du kannst Dir da durch unstetige Funktionen ein Gegenbeispiel bauen. Aber sogar bei differenzierbaren Funktionen geht das ganze schief. Etwa f(x) = sin(x). Überhaupt finde ich den Weg über Links/Rechtsseitigen Grenzwert nicht zielführend. Wenn Du die Funktion F(-x) betrachtest, hast Du eine Verkettung von Funktionen, da irgendwas mit Links- und Rechtsseitig drehen zu wollen erscheint mir unsinnig.

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} F(0) = F(-0) \end{eqnarray*}$ , wir setzen $\begin{eqnarray*} g(x) = F(-x) \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{F(-x) - F(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0}\frac{F(-x) - F(-0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0}\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} \end{eqnarray*}$

Kriegst Du es jetzt hin?

09.10.2010, 13:09

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Hallo, entschuldige die späte Antwort, ich hab`s nicht früher geschafft.
Aber jetzt hab ich es!

Es gilt:
g´(x)=-F`(-x) (Weil die Ableitung von -x -1 ist und man innere x äußere Ableitung nehmen muss.)
Es gilt also g`(0)=-F`(-0)=-F`(0)=-f(0)
Und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{F(-x)-F(0)}{x-0}= \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0}=g^{(1)}(0)=-f(0) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die zahlreichen Hilfestellungen!

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