Transformation von kartesischen Koord in Polarkoordinaten (Kettenregel im Mehrdimensionalen)

20.09.2010, 12:30

monchi

Transformation von kartesischen Koord in Polarkoordinaten (Kettenregel im Mehrdimensionalen)

Hi,

ich hab die zu lösende Aufgabenstellung mal komplett in den Anhang gepackt.

Meine bisherigen Überlegungen (evtl. totaler Murks)

a)
$\begin{eqnarray*} r\in \left(0,\infty \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi \in \left(-\pi,\pi \right) \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} \vec{g} ^{-1}(x,y) =\begin{pmatrix} r \\ \phi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{x^2+y^2} \\ tan(\frac{x}{y}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c)
Funktionalmatrix:
$\begin{eqnarray*} \vec{g}'(r,\phi)=J_{g} = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -rsin(\phi) \\ sin(\phi) & rcos(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die partiellen Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} \frac{dr}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dr}{dy}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d\phi}{dx} =\frac{1}{y*cos^2(\frac{x}{y}) } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{d\phi}{dy} =-\frac{x}{y^2*cos^2(\frac{x}{y}) } \end{eqnarray*}$

d) ab hier komm ich nicht mehr so recht weiter:

Bei der ersten Ableitung hab ich zumindest noch ein Idee.

$\begin{eqnarray*} f'(x,y)=J_{f} =\left(f_{x} , f_{y}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{g}'(r,\phi)=J_{g} = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -rsin(\phi) \\ sin(\phi) & rcos(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also müsste die erste Ableitung der Verkettung folgendes sein:

$\begin{eqnarray*} J_{f}*J_{g} = \left(f_{x}cos(\phi) + f_{y}sin(\phi) , -f_{x}*r*sin(\phi) + f_{y}*r*cos(\phi)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => f_{r}=f_{x}cos(\phi) + f_{y}sin(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>f_{\phi}=-f_{x}*r*sin(\phi) + f_{y}*r*cos(\phi) \end{eqnarray*}$

Nur wie geht es jetzt weiter? Wie komme ich an die zweiten Ableitungen heran?

20.09.2010, 17:34

zosch

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HöMaII Freitag?

Antwortet bitte, hänge bei der gleichen Aufgabe!

20.09.2010, 17:37

monchi

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jooo.....

20.09.2010, 17:59

zosch

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Eine Sache hätte ich glaub ich schon,
wenn deine Funktion so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \vec{g} (r,\phi) = \begin{pmatrix} r*cos\phi \\ r*sin\phi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann müsste deine Jakobi-Matrix so aussehen glaub ich:

$\begin{eqnarray*} \vec{g}'(r,\phi)=J_{g} = \begin{pmatrix} cos(\phi) & sin(\phi) \\ -rsin(\phi) & rcos(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.09.2010, 18:17

zosch

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Und bei der Umkehrfunktion muss an Stelle des tan ein arctan hin wenn ich mich jetzt nicht vertue

21.09.2010, 10:50

monchi

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bei der Umkehr Funktion hast du auf jeden Fall recht da hab ich mich vertan.

Aber die Jacobi ist doch folgender definiert:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{dF_{1}}{x_{1}} & \frac{dF_{1}}{x_{2}} & \frac{dF_{1}}{x_{3}}\\ \frac{dF_{2}}{x_{1}} & \frac{dF_{2}}{x_{2}} & \frac{dF_{2}}{x_{3}} \\ \frac{dF_{3}}{x_{1}} & \frac{dF_{3}}{x_{2}} & \frac{dF_{3}}{x_{3}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich mich da nicht irre müsste sie richtig sein. (Bin mir aber auch nicht 100% sicher)

Wie siehts mit dem Ableitungen aus die ich da konstruiert habe? Jemand eine Idee?

21.09.2010, 12:40

saz

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Zu b) Wie schon bemerkt wurde, sollte da wohl arctan stehen.
Zu c) Ja. Allerdings solltest du bei partiellen Ableitungen aufpassen, dass du auch die entsprechende Symbolik verwendest, sonst ist es falschwas dort steht. Und mit der Änderung der Umkehrfunktion musst du natürlich auch die Ableitungen nochmal "aktualisieren".

Zu d) Sei

$\begin{eqnarray*} f(r,\varphi) = r^{\alpha} \cdot \sin (a \cdot \varphi) f(x,y) = r(x,y)^{\alpha} \cdot \sin(a \cdot \varphi(x,y)) \Rightarrow f(x,y) = f(r,\varphi) \circ g^{-1}(x,y) \end{eqnarray*}$

Wie schon in dem Hinweis steht, brauchst du jetzt die Kettenregel - und natürlich die produktregel

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial r} (r^{\alpha} \cdot \sin (a \cdot \varphi)) \cdot \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial \varphi} (r^{\alpha} \cdot \sin (a \cdot \varphi)) \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial x} \end{eqnarray*}$

... leuchtet dir das ein? Weil:

$\begin{eqnarray*} \partial_x f(x,y) = f'(r,\varphi) \cdot \partial_x g^{-1}(x,y) \end{eqnarray*}$

21.09.2010, 16:40

monchi

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Zitat:

Zu c) Ja. Allerdings solltest du bei partiellen Ableitungen aufpassen, dass du auch die entsprechende Symbolik verwendest, sonst ist es falschwas dort steht.

Was genau ist denn falsch?

Zitat:

Zu d) Sei
$\begin{eqnarray*} f(r,\varphi) = r^{\alpha} \cdot \sin (a \cdot \varphi) f(x,y) = r(x,y)^{\alpha} \cdot \sin(a \cdot \varphi(x,y)) \Rightarrow f(x,y) = f(r,\varphi) \circ g^{-1}(x,y) \end{eqnarray*}$

Bis hierhin hab ich alles verstanden.

Die nächste Zeile hingegen kann ich leider nicht nachvollziehen verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial r} (r^{\alpha} \cdot \sin (a \cdot \varphi)) \cdot \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial \varphi} (r^{\alpha} \cdot \sin (a \cdot \varphi)) \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial x} \end{eqnarray*}$

ich hab das gefühl das ich bei der Kettenregel etwas grundlegend nicht verstanden habe. Gibts im Netz irgendwo ein gute Quelle (am besten mit Beispielen) wo sie nochmal ausführlich erklärt wird? In meinen Unterlagen hab ich nichts brauchbares gefunden

21.09.2010, 17:00

saz

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Falsch ist, dass du immer $\begin{eqnarray*} \frac{d}{d} \end{eqnarray*}$ geschrieben hast - das sind partielle Ableitungen, also musst du da $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial} \end{eqnarray*}$ schreiben. Falls dir das unklar ist: Wenn du z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x,y) := x \cdot y \end{eqnarray*}$

betrachtest, dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} = y \end{eqnarray*}$ , aber niemand sagt dir, dass $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = y \end{eqnarray*}$ , weil y ja durchaus auch von x abhängen kann (und dann bräuchtest du noch die innere Ableitung).

Zu dem anderen: Weiß ich leider nicht. Das Skript von meiner Vorlesung habe ich zwar online gestellt, aber da sind nicht sonderlich viele Beispiele drin. Das wichtige ist jedenfalls eigentlich nicht die Zeile, die du zitiert hast (auch wenn es das Ergebnis ist), sondern das was ich darunter geschrieben hatte.

Aber ich versuch's nochmal. Nennen wir mal

$\begin{eqnarray*} h(r,\varphi) := f(r,\varphi) \Rightarrow f(x,y) = h(r,\varphi) \circ g^{-1}(x,y) = (h \circ g^{-1})(x,y) \end{eqnarray*}$

Was sagt jetzt erstmal die Kettenregel rein formal aus? Wie lautet Jf?

21.09.2010, 17:48

monchi

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die Ketten regel besagt, das ich die Jacobi-Matrix einer verketteten Funktion erhalte, indem ich die Jacobi-Matrix der "äußeren" Funktion mit der Jacobi-Matrix der "inneren" Funktion multipliziere (Matrizenmultiplikation)

In dem Beispiel also:

$\begin{eqnarray*} J_{h} = \left(\frac{\partial h}{\partial r},\frac{\partial h}{\partial \varphi} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J_{g^{-1} }= \begin{pmatrix} \frac{\partial r}{\partial x} & \frac{\partial r}{\partial y} \\ \frac{\partial \varphi}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J_{f} =J_{h}*J_{g} = \begin{pmatrix} \frac{\partial h}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial h}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial x} & \frac{\partial h}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial y} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann aber auch totaler Murks sein verwirrt

21.09.2010, 19:16

saz

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Abgesehen von dem fehlenden Komma in der letzten Matrix ist es okay. Verstehst du jetzt das, was ich da oben geschrieben habe? (Wenn du den linken Eintrag von Jf mit meinem oben geschrieben vergleichst und noch die Definition von h einsetzt.) smile

21.09.2010, 20:33

monchi

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^^jo sieht "ziemlich" gleich aus! Prost

sehr schön, zwischendurch dachte ich schon das ich total auf dem Holzweg bin!!

nur wie komm ich jetzt jeweils an die zweite Ableitung?
für die Aufgabenstellung benötige ich ja $\begin{eqnarray*} f_{xx} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{yy} \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich das bis jetzt alles richtig verstanden habe gilt:

$\begin{eqnarray*} J_{f} = \begin{pmatrix} \frac{\partial h}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial h}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial x} &, \frac{\partial h}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial y} \end{pmatrix} = \left( f_{x}, f_{y}\right) \end{eqnarray*}$

21.09.2010, 20:36

saz

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Najo, wenn du Jf hast, dann erhälst du die gewünschten Ableitung, indem du $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ nochmal partiell nach x ableitest (analog für y). Aber dazu solltest du wohl erstmal Jf bestimmen Wink

21.09.2010, 21:36

monchi

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ok, das sollte ich hinbekommen.

Bin ich gerade zu müde für Big Laugh

berechne ich morgen und poste hier dann nochmal meine Ergebnisse!

Besten Dank für deine Hilfe bis hier hin!!

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