Beweis der Komposition zweier Abbildungen

08.11.2006, 16:10	Mathebanause	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Komposition zweier Abbildungen Hallo Leute! Ich wollte mal fragen ob ich die Aufgabe richtig gelöst hab: $\begin{eqnarray} f, f_1, f_2 : X->Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g, g_1, g_2: Y->Z \end{eqnarray}$ seien Abbildungen. Beweisen Sie: a) Wenn g injektiv ist und $\begin{eqnarray} g ° f_1 = g ° f_2 \end{eqnarray}$ gilt, so folgt $\begin{eqnarray} f_1 = f_2 \end{eqnarray}$ b) Wenn f surjektiv ist und $\begin{eqnarray} g_1 ° f = g_2 ° f \end{eqnarray}$ gilt, so folgt $\begin{eqnarray} g_1 = g_2 \end{eqnarray}$ Anmerkung: diese Hochgestellte 0 ist der Kreis für die Komposition zweier funktionen also: $\begin{eqnarray} (g ° f)(x) = f(g(x)) \end{eqnarray}$ Wusste nur nicht wie man dieses Symbol in Latex schreibt... Nun meine Lösungen: a) lt. Def: $\begin{eqnarray} f(x) = f(y) => x = y \end{eqnarray}$ Bew: $\begin{eqnarray} (g ° f_1)(x) = (g ° f_2)(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => g(f_1(x)) = g(f_2(x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => g(y_1) = g(y_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => y_1 = y_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => f_1(x) = f_2(x) \end{eqnarray}$ b) lt. Def: $\begin{eqnarray} \forall y \in Y \exists x \in X : f(x) = y \end{eqnarray}$ Bew.: $\begin{eqnarray} g_1 ° f = g_2 ° f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => g_1(f(x)) = g_2(f(x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =>g_1(y) = g_2(y) \end{eqnarray}$ Gruß, Mathebanause
08.11.2006, 16:19	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt.

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