Grenzwert einer Funktionenfolge

20.09.2010, 14:47

Grenzwert einer Funktionenfolge

Hallo,
ich möchte
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } fn(x)=\lim_{n \to \infty }\frac{x}{n²}*e^{\frac{-x}{n}} \end{eqnarray*}$ berechnen. Und gucken, ob die FUnktion gleichmäßig oder punktweise konvergiert.

Ich habe mal einige Funktionenfolgen aufgemalt und würde sagen, dass die gesuchte Grenzfunktion die Nullfunktion ist. (WEnn das wirklich die gesucht Grenzfunktion ist, bedeutet das dann eigentlich automatisch schon, dass fn gleichmäßig konvergent ist? Die Grenzfunktion ist ja unabhängig von x.)

Aber beweisen kann ich das Ganze nicht. Wir haben eine solche Konvergenz bisher immer über das Supremum betrachtet. Oder bei punktweiser Konvergenz auch über den Betrag der Differenz der beiden Funktionen.
Aber hier komme ich einfach nicht weiter.
Ich weiß, dass e^-x gegen Null strebt für x gegen oo Aber $\begin{eqnarray*} \frac{-x}{n} \end{eqnarray*}$ geht ja von unten gegen Null, $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-x}{n}} \end{eqnarray*}$ würde demnach gegen 1 konvergieren, n² geht ja aber gleichzeitig gegen unendlich. Sieht also tatsächlich so aus, als wäre die Nullfunktion die gesuchte Funktion?
Aber wenn das stimmt: Wie zeig ich das?

20.09.2010, 14:59

Mazze

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Auf welcher Definitionsmenge betrachtest Du das Ganze?

20.09.2010, 16:22

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Ach so, entschuldige.
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R+ ->\mathbb R \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathbb R + \end{eqnarray*}$ alle rellen ZAhlen $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein soll.

20.09.2010, 16:23

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Ok, warte, das hatte ich vorhin selbst übersehen. Jetzt muss ich noch mal rechnen...

20.09.2010, 16:39

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Ok, ich weiß auch nicht, was der GRaph mir da vorhin geplottet hat, aber ich hab das jetzt noch mal per Hand gezeichnet (also einige FUnktionenfolgenglieder) und würde jetzt eher annehmen, dass das Ganze gegen ln irgendwas (in den Nullpnkt verschoben und immer gestauchter) konvergiert. Aber wie finde ich jetzt die gesuchte Funktion?

20.09.2010, 17:04

schultz

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ich würde auch vermuten dass sie gegen die nullfolge konvergiert.
jetzt musst du $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|<\in \end{eqnarray*}$ untersuchen.
Wie könntest du diesen ausdruck geschickt abschätzen?

20.09.2010, 20:53

michael_88

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noch ein tipp: kurvendiskussion

21.09.2010, 00:00

schultz

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@michael: was meinst du mit kurvendiskussion?

21.09.2010, 09:52

Mazze

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Die Kurvendiskussion liefert dir ein Maximum, abhängig von n, auf den positiven reellen Zahlen. Damit kannst Du das Supremum bestimmen, und damit letztlich die gleichmäßige Konvergenz zeigen.

21.09.2010, 10:17

tmo

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Oder so: $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{g(\frac{x}{n})}{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x) = xe^{-x} \end{eqnarray*}$ .

g(x) kann man für nichtnegative x leicht nach oben abschätzen.

21.09.2010, 11:22

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Ah, das ist eine gute Idee, das werde ich mal probieren, danke!

Ich bin ehrlich gesagt auch etwas irritiert, weil das eine Teilaufgabe einer Klausuraufgabe ist und es nur einen Punkt dafür gibt. Und wenn ich da jetzt mit Kurvendiskussion rummache...

Ich melde mich wieder, wenn ich mit der Aufgabe weitergekommen bin. Danke schon mal für eure Hilfe!

21.09.2010, 11:37

Mazze

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Zitat:

Und wenn ich da jetzt mit Kurvendiskussion rummache...

Ableiten, Nullsetzen, zweite mal Ableiten und überprüfen ist eine Sache von 5 Minuten. Du sollst ja keine vollständige Diksussion machen, dich interessiert nur das Maximum.

21.09.2010, 12:25

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Hallo,
ich hab weiter rumprobiert, habe aber noch ein paar SChwierigkeiten.
Vielleicht könnt ihr mich einfach berichtigen, wenn etwas falsch ist?

Ich betrachte

$\begin{eqnarray*} g(x)=x*e^{-x} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R + \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ , es ist also maximal 1. In dem Falle ist allerdings x=0 und somit g(x)=g(0)=0.
Betrachtet man dagegen
$\begin{eqnarray*} g(1)=1*e^{-1}=0,36787... \end{eqnarray*}$ ist dies schon größer. Geht man mit dem x gegen Null, wird $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ zwar größer, g(x) aber kleiner, weil sowohl x, als auch $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ zwischen 1 und 0 liegen. Durch ausprobieren würde ich sagen, dass g(x) für x=1 am größten ist. Beweisen kann ich das allerdings nicht. Wie zeigt man, das?
Wenn das stimmt (und ich es beweisen könnte), dann würde gelten:
$\begin{eqnarray*} sup| \frac{\frac{x}{n}*e^{\frac{-x}{n} } }{n} |=\frac{e^{-1}}{n} \end{eqnarray*}$ für x=n.
Dann wäre mein x allerdings abhängig vom n und somit würde die Konvergenz nur Punktweise gelten, oder?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{e^{-1}}{n}=0 \end{eqnarray*}$
Somit wäre die gesuchte Funktion die Nullfunktion. Und
fn->f(x)=0.

21.09.2010, 12:39

tmo

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Zitat:

Original von le
Durch ausprobieren würde ich sagen, dass g(x) für x=1 am größten ist. Beweisen kann ich das allerdings nicht. Wie zeigt man, das?

Die Aussage stimmt. Aber es ist doch nicht dein Ernst, dass du nicht weißt, wie man sowas zeigt? verwirrt

Aber selbst dann gibt es eine viel leichtere Abschätzung, die auch schon ausreicht:
Es ist für alle $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} e^x \geq x+1\geq x \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 1 \geq xe^{-x} \end{eqnarray*}$

Deine Schlussfolgerungen danach stimmen auch nicht.

Was soll denn $\begin{eqnarray*} \sup \left| \frac{g(\frac{x}{n})}{n} \right| = \frac{e^{-1}}{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=n \end{eqnarray*}$ bedeuten? Das macht alles keinen Sinn.

Du musst $\begin{eqnarray*} \sup_{x \geq 0} \left| \frac{g(\frac{x}{n})}{n} \right| \end{eqnarray*}$ betrachten. dieser Ausdruck hängt dann nicht mehr von x ab. Im allgemeinen aber von n. Und dann stellt sich die Frage: Konvergiert dieser Ausdruck als Folge über n gegen 0?

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