Gleichmäßige Konvergenz beweisen

20.09.2010, 16:13

michael_88

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Gleichmäßige Konvergenz beweisen

Meine Frage:
Hey Leute,
also: Es sei $\begin{eqnarray*} g(x):=\sum_{k=1}^{\infty}|f_k(x)|\leq C \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|\leq M \end{eqnarray*}$ .

Zeige: Die Reihe konvergiert gleichmäßig für alle $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|\leq M \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich wäre jetzt so vorgegangen....Nach Voraussetzung ist die Reihe konvergent.Deshalb existiert nach dem Cauchy-Kriterium ein $\begin{eqnarray*} n_0\in N \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^{n}|f_k(x)|\leq \epsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n>m\geq n_0 \end{eqnarray*}$

Setze nun $\begin{eqnarray*} g_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x) \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} n>m\geq n_0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} |g_n(x)-g(x)|\leq \sum_{k=m+1}^n|f_k(x)|\leq \epsilon \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n>m\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|\leq M \end{eqnarray*}$ .

Damit ist das Cauchy-Kriterium für Funktionfolgen erfüllt!
Kann man das so machen?

20.09.2010, 16:59

gonnabphd

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Hi,

Na, so einfach gehts nicht. Du weisst nur, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ punktweise konvergiert auf $\begin{eqnarray*} [-M,M] \end{eqnarray*}$ , und dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

Du musst nun zeigen, dass die Reihe unter diesen Bedinungen schon gleichmässig konvergiert.

Gruss Wink

Wink

p.s. Sind die $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ alle stetig?

20.09.2010, 20:43

michael_88

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ja die f_k sind alle stetig...sorry....wie kann man es denn machen??

grüße

20.09.2010, 20:52

michael_88

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ich habe doch die gleichmäßige konvergenz mittels des Cauchy-Kriteriums gezeigt oder nicht?

20.09.2010, 21:23

gonnabphd

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Zitat:

ja die f_k sind alle stetig...sorry....wie kann man es denn machen??

Wenn du nicht noch etwas zu erwähnen vergessen hast, dann ist die Aussage falsch:

Gegenbeispiel: Definiere $\begin{eqnarray*} h_n(x) = 1 - |x|^n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ (also M = 1)

Weiter sei $\begin{eqnarray*} f_n(x) = h_n(x) - h_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$ für n>0, so dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^N |f_n(x)| = \sum_{k=1}^N f_n(x) = h_N(x) = 1 - |x|^N \end{eqnarray*}$

Man sieht leicht, dass $\begin{eqnarray*} g(x) := \sum_{k=1}^\infty f_n(x) = \begin{cases} 1 & |x| \ne 1 \\ 0 & |x|=1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Damit sind alle Anforderungen erfüllt, aber die Konvergenz kann nicht gleichmässig sein, da g(x) nicht stetig ist.

20.09.2010, 21:26

gonnabphd

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Zitat:

Deshalb existiert nach dem Cauchy-Kriterium ein $\begin{eqnarray*} n_0\in N \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^{n}|f_k(x)|\leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Für jedes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0 = n_0(x) \end{eqnarray*}$ , so dass dies gilt. Aber das heisst nicht, dass es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^{n}|f_k(x)|\leq \epsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n>m\geq n_0 \end{eqnarray*}$

für alle betrachteten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt.

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20.09.2010, 21:29

gonnabphd

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.

22.09.2010, 11:51

michael_88

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okey...habe es selbst dann gemerkt, dass "mein" n_0 noch von x abhängt....warum ich die frage so gestellt habe ist folgende.....ich habe eine reihe gegeben, etwa

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(T*k)g(x,k) \end{eqnarray*}$

wobei T>0.....g hängt also von x und k ab und man kann den Funktionswert der stetigen Funktion auch über die Reihe ermitteln....auf jeden fall steht jetzt im buch man möge die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung auf die Reihe anwenden und die beiden reihen nach der Abschätzung konvergieren absolut für $\begin{eqnarray*} |x|\leq R \end{eqnarray*}$ .....und deshlab konvergiert die ausgangsreige absolut (was ich ja dann noch einsehe) und lokal gleichmäßig (wieso?)

bitte um hilfe

Grüße

Michael

22.09.2010, 12:02

gonnabphd

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Also, mal ehrlich. So wird das nichts. unglücklich

unglücklich

Du kannst nicht erwarten, dass ich alle fehlenden Informationen selber irgendwie erraten kann.

Sag' also mal was über den Zusammenhang: z.B. ob g(x,k) (in der ersten Variablen) stetig ist, was man über f(x) weiss, etc...

Ohne weitere Informationen ist die Aussage nämlich schlichtweg falsch.

22.09.2010, 12:03

michael_88

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ich führ das mal ein bischen mehr aus.....sei $\begin{eqnarray*} |x|\leq R \end{eqnarray*}$ ....dann erhalte ich sowas

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|f(k*T)||g(x,k)|\right)^2\leq \sum |f(k*T)|^2*\sum|g(x,k)|^2 \end{eqnarray*}$

(die grenzen bleiben immer gleich)

die erste Reihe konvergiet, ist also $\begin{eqnarray*} \leq C \end{eqnarray*}$

für die Zeite Reihe braucht man nun $\begin{eqnarray*} |x|\leq R \end{eqnarray*}$ und man schätzt sie dann durch

$\begin{eqnarray*} \leq \sum h(R,k) \end{eqnarray*}$ ab und diese Reihe konvergiert...(hängt also nicht mehr von x ab)

dass jetzt die ausgangsreihe absolut konvergiert ist klar.....aber wieso lokal gleichmäßig????

22.09.2010, 12:05

michael_88

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schon wieder vergessen....also f ist stetig, g ist in beiden variablen stetig

22.09.2010, 12:29

michael_88

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versteh das nicht, wieso sollte das so sein? aber mehr steht im buch nicht....

22.09.2010, 13:36

gonnabphd

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Hmm, diese Erklärung wirft noch mehr Fragen auf: Was ist diese Funktion h(R,k) nun plötzlich? Und was will man denn überhaupt zeigen?

Es müssen noch mehr Infos vorhanden sein. Wie heisst denn das Buch und auf welcher Seite ist das?

22.09.2010, 14:07

michael_88

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das buch heißt "advances in shannon´s sampling theroem".....man soll zeigen, dass die reihe absolut und lokal gleichmäßig konvergiert.....man schätzt gro0b ab und ersetzt x durch R und was daraus kommt nenne ich h!

22.09.2010, 14:16

michael_88

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also jetzt dann mal ganz genau:

f ist stetig und absolut integrierbar über R. die fouriertransformierte sei außerhalb von (-b,b) gleich null......man kann dann zeigen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(kT)sinc\left(\frac{2\pi}{T}(x-KT)\right) \end{eqnarray*}$

weobei T>0 und $\begin{eqnarray*} sinc(x):=\frac{sin(\pi x)}{\pi x} \end{eqnarray*}$ .....

zeige: die reihe konvergiert lokal gleuchmäßig und absolut.....von mir aus, kan man noch zusätzliche Voarssetzungen einführen, um es zu beweisen, aber so wenig wie möglich....

man kriegt ebenfalls raus, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k?-\infty}^{\infty}|f(kT)|^2<\infty \end{eqnarray*}$

jetzt zeige: die reihe konvergiert absolut und lokal gleichmäßig auuf R

22.09.2010, 14:31

michael_88

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viell. eine andere Idee:

Bezeichne

$\begin{eqnarray*} g_k(x)=f(kT)sinc\left(\frac{2\pi}{T}(x-kT)\right) \end{eqnarray*}$

und sei $\begin{eqnarray*} |x|\leq R \end{eqnarray*}$ .

Vorbereitung:

$\begin{eqnarray*} |\frac{2\pi^2}{T}(x-kT)|\geq \frac{2\pi^2}{T}(|k|T-|x|)\geq \frac{2\pi^2}{T}(|k|T-R)>0 \end{eqnarray*}$ wenn |k| groß genug (klar)....,d.h. $\begin{eqnarray*} |k|\geq k_0 \end{eqnarray*}$
damit erhält man nun für $\begin{eqnarray*} |k|\geq k_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |g_k(x)|\leq |f(kT)|\frac{T}{2\pi^2(|k|T-R)}=c_k \end{eqnarray*}$

und die Reihe über $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ konvergiert wenn man die cauchy-schwarzsche ungleichung anwendet , da
$\begin{eqnarray*} \sum |f(kT)|^2<\infty \end{eqnarray*}$ und beim zweiten term kriegt man im nenner ein $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ .....und somit konvergiert die reihe absolut und lokal gleichmäßig nach dem majorantenkriterium von weierstraß!

22.09.2010, 14:56

gonnabphd

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Ja, so funktioniert das natürlich! Freude

Freude

Das ist eben der Unterschied zwischen bloss beschränkt und "majorisiert"...

Gruss Wink

Wink

22.09.2010, 17:32

michael_88

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okay....dann schreib ich das jetzt so auf! vielen dank für die Hilfe!

Grüße

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