Scharfe Sensitivitätsabschätzung

20.09.2010, 18:21	RanDom21	Auf diesen Beitrag antworten »
Scharfe Sensitivitätsabschätzung Ich habe hier ein altes Beispiel aus einer Übung vor mir: Im ersten Teil der Aufgabe ging es darum, ob es für $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{C}^{n \times n} \end{eqnarray}$ regulär, $\begin{eqnarray} \|\|.\|\| \end{eqnarray}$ Norm aus $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ immer Vektoren $\begin{eqnarray} b \in \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Delta b \in \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ gibt, sodass für die Lösungen $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x + \Delta x \in \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ der LGSe $\begin{eqnarray} Ax = b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A(x + \Delta x) = b + \Delta b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{\|\|\Delta x\|\|}{\|\|x\|\|} = K(A) \frac{\|\|\Delta b\|\|}{\|\|b\|\|} \end{eqnarray}$ ( K(A)...Konditionszahl von A, also $\begin{eqnarray} \|\|A\|\| \cdot \|\|A^{-1}\|\| \end{eqnarray}$ ) Nun wurde das gezeigt (Idee war $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|=\max\{\frac{\|\|Ax\|\|}{\|\|x\|\|} \| x \neq 0\} \end{eqnarray}$ wird angenommen). In Teil 2 soll man jetzt mit konkretem $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\|.\|\| = \|\|.\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ (Zeilensummennorm) $\begin{eqnarray} b, \Delta b, x ,\Delta x \end{eqnarray}$ bestimmen. In meiner Mitschrift finde ich leider nur mehr die Resultate..Hoffe es kann mir jemand helfen. ( K(A) ist übrigens = 6 )
22.09.2010, 16:35	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wie macht man das? Man wählt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \\|Ax\\|=\\|A\\|\cdot\\|x\\| \end{eqnarray}$ gilt und setzt $\begin{eqnarray} b:=Ax \end{eqnarray}$ . Dann ist nämlich $\begin{eqnarray} \\|b\\|=\\|Ax\\|=\\|A\\|\cdot\\|x\\| \end{eqnarray}$ . Im zweiten Schritt wählt man $\begin{eqnarray} \Delta b \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \\|A^{-1}\Delta b\\|=\\|A^{-1}\\|\cdot\\|\Delta b\\| \end{eqnarray}$ gilt und setzt $\begin{eqnarray} \Delta x:=A^{-1}\Delta b \end{eqnarray}$ . Dann ist zudem $\begin{eqnarray} \\|\Delta x\\|=\\|A^{-1}\Delta b\\|=\\|A^{-1}\\|\cdot\\|\Delta b\\| \end{eqnarray}$ . Zusammen liefert dies $\begin{eqnarray} \frac{\|\|\Delta x\|\|}{\|\|x\|\|} = K(A) \frac{\|\|\Delta b\|\|}{\|\|b\|\|} \end{eqnarray}$ . Die Aufgabe ist also so einfach und so schwer wie Vektoren zu finden, bei denen das Maximum angenommen wird. Bezüglich der Supremums-Norm ist das sehr einfach: Man nimmt einfach einen Vektor mit Einträgen $\begin{eqnarray} \pm1 \end{eqnarray}$ , je nachdem welche Vorzeichen in der relevanten Zeile der Matrix auftreten. Im Fall $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist die "maximale Zeile" $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Eine mögliche Wahl ist $\begin{eqnarray} x= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} b= \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Im Fall $\begin{eqnarray} A^{-1}= \begin{pmatrix} 0 & 0.25 \\ -1 & 0.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist die "maximale Zeile" $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Eine mögliche Wahl ist $\begin{eqnarray} \Delta b= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \Delta x= \begin{pmatrix} 0.25 \\ 1.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .

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