kritische Punkte (Min,Max) berechnen

20.09.2010, 17:08

inseljohn

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kritische Punkte (Min,Max) berechnen

Hallo,

ich sitze hier grad vor einer Aufgabe, wo ich nicht weiterkomme.
Eigentlich nicht weiter schwer, doch ich komm bei der Funktion nicht auf die krit. Punkte

Die Aufgabe lautet:
Berechnen Sie min, max, wobei die stetige Funktion f und die kompakte Menge M gegeben sind durch

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=3x^2-2xy^2+y^4 <br /> M={(x,y):|x|\leq 1 und |y|\leq 1} \end{eqnarray*}$

Habe dann also den Gradienten gebildet und folgendes rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} f_{x}(x,y)= 6x-2y^2<br /> f_{y}(x,y)= -4xy+4y^3 \end{eqnarray*}$

So, dann kann ich ja folgendes machen
$\begin{eqnarray*} f_{y}(x,y)= -4xy+4y^3 -> 4y(-x+y^2) \end{eqnarray*}$

damit weiß ich ja schonmal, dass y=0 ist.
aus -x+y^2=0 ergibt sich ja auch das x=0 ist oder
Ist das soweit richtig?

Dankeschööön für die Mühe!
Gruß

20.09.2010, 17:34

Abakus

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RE: kritische Punkte (Min,Max) berechnen

Zitat:

Original von inseljohn
Habe dann also den Gradienten gebildet und folgendes rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} f_{x}(x,y)= 6x-2y^2<br /> f_{y}(x,y)= -4xy+4y^3 \end{eqnarray*}$

Hallo!

Du setzt diese beiden Gleichungen gleich Null, soweit ok. Das resultierende Gleichungssystem ist nun exakt zu lösen, um die kritischen Punkte zu bekommen.

Ansonsten ist natürlich noch der Rand von M zu untersuchen.

Grüße Abakus smile

smile

20.09.2010, 18:19

tmo

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Die Darstellung $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2x^2+(x-y^2)^2 \end{eqnarray*}$ lässt übrigens mit ein bisschen Überlegung sofort auf Maximum und Minimum schließen Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.09.2010, 11:25

le

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Hallo,
ich habe auch (x,y)=(0,0) als kritischen Punkt heraus.

Aber wenn ich das jetzt in die Matrix der 2. Partiellen Ableitungen einsetzte, bekomme ich heraus, dass sie positiv semidefinit ist... (Ich bestimme die Definitheit doch in dem kritischen Punkt, oder?)
Hoffe, es ist in Ordnung, dass ich hier dazwischenfrage.

2. Frage: Die Randpunkte muss ich ja jetzt extra betrachten. Setzte ich sie dazu einfach ein?

21.09.2010, 14:21

inseljohn

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Zitat:

Original von tmo
Die Darstellung $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2x^2+(x-y^2)^2 \end{eqnarray*}$ lässt übrigens mit ein bisschen Überlegung sofort auf Maximum und Minimum schließen Augenzwinkern

Augenzwinkern

ok, soweit is mein mathematisches Verständnis leider noch nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Werd die Aufgabe später weiter machen und hier nochmal posten

28.09.2010, 16:13

inseljohn

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Hallo,

leider habe ich diese Aufgabe immer noch nicht gelöst :/

Habe jetzt also
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> I. 6x-2y^2=0 <br /> II.-4xy+4y^3=0<br /> \end{eqnarray*}$

I. nach x aufgelöst
$\begin{eqnarray*} <br /> I. 6x-2y^2=0 <br /> 6x=2y^2<br /> x=\frac{1}{3} y^2<br /> \end{eqnarray*}$

das habe ich dann in die II. Gleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} <br /> -4*(\frac{1}{3}y^2)*y+4y^3=0<br /> \end{eqnarray*}$

damit x=0 und y=0

Doch wie gehts jetzt weiter? unglücklich

unglücklich

Setze ich somit in f(x,y) für x=0 und y=0 ein?
Dann komme ich ja auf 0?!

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28.09.2010, 16:18

inseljohn

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Zitat:

Original von tmo
Die Darstellung $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2x^2+(x-y^2)^2 \end{eqnarray*}$ lässt übrigens mit ein bisschen Überlegung sofort auf Maximum und Minimum schließen Augenzwinkern

Augenzwinkern

könntest du mir das genauer erklären? Ich wäre dir sehr dankbar!

28.09.2010, 16:24

klarsoweit

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Wann sind denn wohl Quadratzahlen am kleinsten? smile

smile

28.09.2010, 16:28

inseljohn

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wann sind denn wohl Quadratzahlen am kleinsten? smile

smile

Also ich sehe da nur, dass das ganze 0 wird wenn x=-1 und y=1?
Aber das meinst du bestimmt nicht oder?
Kann du auch noch was zu meinem vorherigen Post sagen?
Ich will diese AUfgabe so gern abschließen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.09.2010, 16:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von inseljohn
Also ich sehe da nur, dass das ganze 0 wird wenn x=-1 und y=1?

Mit diesen Werten ist weder der erste Summand noch der 2. Summand gleich Null. Man kann es aber mit bloßem Hinschauen so hinbiegen, daß beide Summanden gleich Null sind.

Zitat:

Original von inseljohn
Kann du auch noch was zu meinem vorherigen Post sagen?

Die Bestimmung des kritischen Punkts in deinem letzten Post ist ok.

28.09.2010, 16:59

inseljohn

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Ok, ich kanns nicht mit bloßem hinschauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie geht es denn jetzt genau weiter?
Muss ich jetzt die Randuntersuchung machen?

Ich hab jetzt mal folgendes gemacht
$\begin{eqnarray*} <br /> x=1<br /> f(1,y)=2-2y^2+y^4 <br /> f'(1,y)=-4y^3+4y^3<br /> \end{eqnarray*}$

Ich wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand hier bisschen auf die Sprünge helfen würde. Sprich mir die nächsten Schritte erklären würde.... =)
ich dreh hier langsam noch durch...

28.09.2010, 17:26

inseljohn

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so, habe hier jetzt mal was gerechnet. Kein plan, ob das richtig ist.
Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn jemand was dazu sagen könnte!

http://www.picbutler.de/bild/159493/analysisauf4bpgxtw.jpg

http://www.picbutler.de/bild/159492/analysisauf4auja1w.jpg

Gruß

29.09.2010, 06:36

klarsoweit

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Auf dem ersten Foto steht eigentlich nur die Berechnung des kritischen Punkts, die ich schon als richtig abgehakt habe. Das wirklich neue ist die Liste der Eckpunkte, die obendrein (bis auf einen Punkt) noch falsch ist. Außerdem mußt du noch untersuchen, von welchem Typ der kritische Punkt ist.

Die Randuntersuchung auf dem 2. Foto ist ok, allerdings fehlen noch zwei weitere Ränder.

Zitat:

Original von inseljohn
Ok, ich kanns nicht mit bloßem hinschauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast eigentlich noch nicht meine Frage beantwortet, wann eine Quadratzahl am kleinsten ist.

29.09.2010, 07:26

inseljohn

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Guten morgen =)

Danke für deine Antwort. Ja, mit den Eckpunkten war ich mir auch unsicher. Ich wusste nicht direkt, wie ich mit den Betrag umgehen soll. Könntest du mir die Eckpunkte evtl nennen?
Mit "von welchem Typ der krit. Punkt ist" , meinst du damit das ich noch was mit der Hesse Matrix und Det machen muss? Oder wie bestimme ich den Typ?

Uh, welche zwei Ränder fehlen denn noch?
Irgendwie überfordert mich diese Aufgabe grad traurig

traurig

Ach so. Auf deine Frage, weiß ich leider auch keine Antwort bzw. hab keine Ahnung worauf du hinaus möchtest

29.09.2010, 07:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von inseljohn
Ich wusste nicht direkt, wie ich mit den Betrag umgehen soll. Könntest du mir die Eckpunkte evtl nennen?

Das ist so simpel, das du das selber können mußt.

Zitat:

Original von inseljohn
Mit "von welchem Typ der krit. Punkt ist" , meinst du damit das ich noch was mit der Hesse Matrix und Det machen muss?

Ja.

Zitat:

Original von inseljohn
Uh, welche zwei Ränder fehlen denn noch?

Das wirst du wissen, wenn du alle Eckpunkte hast.

Zitat:

Original von inseljohn
Ach so. Auf deine Frage, weiß ich leider auch keine Antwort bzw. hab keine Ahnung worauf du hinaus möchtest

Nenne mir einfach mal die kleinste Quadratzahl.

29.09.2010, 09:34

inseljohn

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Hallo,
mensch, du bist aber auch ein harter brocken Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also, hab dann jetzt die Hesse- Matrix aufgestellt. Die sieht bei mir folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \<br /> <br /> begin{pmatrix} +6 & -4y \\ -4y & (-4x+12y^2)\\ \end{pmatrix} <br /> <br /> P1(0,0)<br /> <br /> det Hf(0,0)=det \begin{pmatrix} +6 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$
So, ich weiß noch das wenn det<0= Satterlpunkt und det>0 dann min oder max (abhängig von Hess wxx). Aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ist wenn ich als det Hf=0 rausbekomme.

Zu der Quadratzahl...ich hau jetzt einfach mal einen raus...0^2=0 ..kleiner gehts ja eigentlich nicht.

Zu den Eckpunkten. Sorry, ich weiß es grad echt nicht. Vermutlich ist (1,1) der einzige richtige oder?

Tausend Dank nochmals für deine Hilfe =) Freude

Freude

29.09.2010, 10:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von inseljohn
Hallo,
mensch, du bist aber auch ein harter brocken Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich helfe hier nur, mache aber nicht die Arbeit. Außerdem lernst du dann auch was. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von inseljohn
Also, hab dann jetzt die Hesse- Matrix aufgestellt. Die sieht bei mir folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} +6 & -4y \\ -4y & (-4x+12y^2)\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...

So, ich weiß noch das wenn det<0= Satterlpunkt und det>0 dann min oder max (abhängig von Hess wxx). Aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ist wenn ich als det Hf=0 rausbekomme.

Die Heese-Matrix $\begin{eqnarray*} Hf(0,0) = \begin{pmatrix} +6 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ok. Allerdings kannst du mit der Determinante nichts wollen (hat dir das jemand gesagt?). Ob die Matrix positiv oder negativ definit ist, verraten dir die Eigenwerte.

Zitat:

Original von inseljohn
Zu der Quadratzahl...ich hau jetzt einfach mal einen raus...0^2=0 ..kleiner gehts ja eigentlich nicht.

In der Tat. Für welches x ist also 2x² am kleinsten ?

Zitat:

Original von inseljohn
Zu den Eckpunkten. Sorry, ich weiß es grad echt nicht. Vermutlich ist (1,1) der einzige richtige oder?

Stimmt. Welche x-Werte kommen denn bei der Bedingung |x| <= 1 in Frage?

29.09.2010, 10:57

inseljohn

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Zitat:

Die Heese-Matrix $\begin{eqnarray*} Hf(0,0) = \begin{pmatrix} +6 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ok. Allerdings kannst du mit der Determinante nichts wollen (hat dir das jemand gesagt?). Ob die Matrix positiv oder negativ definit ist, verraten dir die Eigenwerte.

Mit Eigenwerten haben wir hier nie was gemacht! Wenn dan det gebildet und dann halt entschieden ob max,min oder sattelpunkt. Das haben wir anhand der, in meinem vorherigen post genannte bedingungen gemacht.

Zitat:

In der Tat. Für welches x ist also 2x² am kleinsten ?

Na ja, dann wohl für Null. Wäre ja die einzige Möglichkeit, damit man dort auf 0 kommt. Dann muss y ja auch gleich 0 sein. Sonst sehe ich da keine Möglichkeit

Zitat:

Stimmt. Welche x-Werte kommen denn bei der Bedingung |x| <= 1 in Frage?

Du machst mich fertig. Mir raucht hier schon die rübe :P
Ich würde sagen (-1,0,+1)

http://dream-hosting.de/image/images/opt1285758103e.png

29.09.2010, 11:03

inseljohn

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Also sind meine Eckpunkte:

(-1,1)
(-1,-1)
(1,-1)
(1,1)

? Wenn das nicht stimmt, weiß ich wirklich nicht weiter! verwirrt

verwirrt

29.09.2010, 11:17

nilsman

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hi,
du musst bestimmen ob die hesse matrix in dem punkt positiv oder negativ definit ist.
wenn sie positiv ist, ist es ein min
wenn negativ ein max

deine matrix ist semi-positiv definit. d.h. du erhälst keine aussage ( gilt natürlich auch für semi-negativ definit!)

ein sattelpunkt ist es, wenn die matrix indefinit ist!

weißt du wie man die "definit-heit" einer matrix bestimmt?

für den tipp mit dem x^2 von klarsoweit betrachte einfach mal ne parabel Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.09.2010, 11:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von inseljohn
Mit Eigenwerten haben wir hier nie was gemacht! Wenn dan det gebildet und dann halt entschieden ob max,min oder sattelpunkt. Das haben wir anhand der, in meinem vorherigen post genannte bedingungen gemacht.

Dann mußt du aber alle Determinanten der Hauptminoren bilden. In diesem Fall ist eine der Determinanten gleich Null. Damit kann man mit der Hesse-Matrix keine Aussage treffen.

Zitat:

Original von inseljohn
Na ja, dann wohl für Null. Wäre ja die einzige Möglichkeit, damit man dort auf 0 kommt. Dann muss y ja auch gleich 0 sein. Sonst sehe ich da keine Möglichkeit

Damit kommen wir der Sache schon näher. Wenn man sich $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2x^2+(x-y^2)^2 \end{eqnarray*}$ anschaut, dann ist klar, daß für x=0 das 2x² am kleinsten ist. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (x-y^2)^2 \end{eqnarray*}$ ist bei x=0 für y=0 am kleinsten. Der Wert ist dann Null, was dann auch der kleinste Wert ist, denn dieser Ausdruck auch bei beliebigem x haben kann. Und damit hat die Funktion f(x,y) bei x=y=0 ein Minimum und das ohne Hesse-Matrix und Determinantenrechnerei.

Zitat:

Original von inseljohn
Ich würde sagen (-1,0,+1)

Lassen wir mal die Null weg, dann ist |x| <= 1 für x aus dem Intervall [-1; 1]. Die Welt kann doch so einfach sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Eckpunkte hast du somit richtig.

29.09.2010, 12:19

inseljohn

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Buhh, dann glaube ich hab ich das jetzt irgendwie hinbekommen.

Hab jetzt als Min f(M)=f(-1,1);f(-1,-1)=6 und als Max f(M)=f(0,0)=0

Zitat:

Dann mußt du aber alle Determinanten der Hauptminoren bilden. In diesem Fall ist eine der Determinanten gleich Null. Damit kann man mit der Hesse-Matrix keine Aussage treffen.

Ja, so kenne ich das nur. Was anderes haben wir nie gemacht. Hab dazu auch noch folgenden Thread gefunden: http://www.matheplanet.com/matheplanet/n...0984#naechster5

Zitat:

Damit kommen wir der Sache schon näher. Wenn man sich $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2x^2+(x-y^2)^2 \end{eqnarray*}$ anschaut, dann ist klar, daß für x=0 das 2x² am kleinsten ist. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (x-y^2)^2 \end{eqnarray*}$ ist bei x=0 für y=0 am kleinsten. Der Wert ist dann Null, was dann auch der kleinste Wert ist, denn dieser Ausdruck auch bei beliebigem x haben kann. Und damit hat die Funktion f(x,y) bei x=y=0 ein Minimum und das ohne Hesse-Matrix und Determinantenrechnerei.

Vielen Dank, jetzt hab ichs gerafft. glaube ich zumindest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Damit kommen wir der Sache schon näher. Wenn man sich $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2x^2+(x-y^2)^2 \end{eqnarray*}$ anschaut, dann ist klar, daß für x=0 das 2x² am kleinsten ist. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (x-y^2)^2 \end{eqnarray*}$ ist bei x=0 für y=0 am kleinsten. Der Wert ist dann Null, was dann auch der kleinste Wert ist, denn dieser Ausdruck auch bei beliebigem x haben kann. Und damit hat die Funktion f(x,y) bei x=y=0 ein Minimum und das ohne Hesse-Matrix und Determinantenrechnerei.

Hehe. Wenn ich dein Mathewissen hätte, dann wohl ja..Aber du hast ja auch knappe 30 Jahre Vorprung Augenzwinkern

Augenzwinkern

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