Bestätigung eines Integrals durch HDI

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PG Auf diesen Beitrag antworten »
Bestätigung eines Integrals durch HDI
Hi
Bestätige mit dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung für :




Das HDI ist ja F'(x)=f(x)

Ich habe eine Frage:
Ich habe vergessen, wie ich solche Funktionen ableite, z.B.



Ich weiß, dass ich hier zweimal die Produktregel anwenden muss, aber kann mir trotzdem einer zeigen, wie genau? Dann, denke ich, könnte ich diese Aufgabe lösen
Leerling Auf diesen Beitrag antworten »

Produktregel:



In deinem Fall wähle u = x² und v = sin²x.

Bedenke, dass sin²x wieder ein Produkt ist, nämlich sin(x)*sin(x). Hier also nochmals die Produktregel anwenden!

versuche es mal.
 
 
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Ich merke, dass die Aufgabe schwerer ist als gedacht.

Aber ich stelle mir auch die Frage, warum ich so eine einfache Funktion zum Ableiten hier ausstelle...



Das ist richtig, da bin ich mir fast 100% sicher.

Wie genau muss ich denn Stammfunktion ableiten? Das ist alles mit n!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann machst du es eben allgemein mit ! Augenzwinkern
Verwende bei die Produktregel und für die Kettenregel.

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Antwort.
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Dann machst du es eben allgemein mit ! Augenzwinkern
Verwende bei die Produktregel und für die Kettenregel.

Gruß MSS


Das war mir auch klar, dass ich diese Regeln verwenden muss. Aber allgemein mit n ist sehr schwer, wenn ich nicht ein konkretes n habe...

Meinen die mit Bestätigung ein Beweis?

Das ist schwer.
z.B.


Natürlich muss man hier Kettenregel anwenden. Es ist nicht wie in Klammerausdrücken, also dass sich das n um 1 reduziert!

z.B. ist

nicht
sondern
was du mit Sicherheit selbst weißt.

So habe ich das Problem mit f


Mein Beispiel am Anfang war zu einfach!
Wie muss ich nun sowas ableiten?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
z.B. ist

nicht
sondern
was du mit Sicherheit selbst weißt.

Ja, aber wegen der Kettenregel!! Es ist doch



und entsprechend

.

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestätigung eines Integrals durch HDI
Zitat:
Original von Mathespezialschüler



und entsprechend

.

Ohh jetzt habe ich verstanden, wie du das meinst. Ich habe solche Funktionen ganz anders abgeleitet, obwohl es viel leichter geht...



Also nun zur Aufgabe:



















Bei dieser Ableitung bin ich mir ziemlich sicher. Nun kommt das nächste:



Wie ich das Integralzeichen wegbekomme weiß ich nicht, aber ich würde so ableiten:

Bevor ich weiter mache, will ich fragen, ob es ab hier richtig ist?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie war nochmal der HDI? verwirrt



Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Wie war nochmal der HDI? verwirrt



Gruß MSS


hehe


also habe ich es richtig gemacht?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, eben nicht! Mit gilt:

.

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Nein, eben nicht! Mit gilt:

.




Schlussfolgerung: Ich muss das nicht ableiten!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Jetzt noch den Rest machen und alles zusammenfügen. Augenzwinkern

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestätigung eines Integrals durch HDI


Wie ich das zusammenfasse ist noch die Frage, obwohl ich in Algebra nicht so schlecht bin.
Ich sehe, dass der 2. und 3. Summand ähnlich sind, bis auf das ,das der 2. Summand hat. Außerdem stört das

Soll ich vielleicht vom 2. und 3. Summand etwas ausklammern?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Setze einfach ein. Augenzwinkern

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestätigung eines Integrals durch HDI
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Setze einfach ein. Augenzwinkern

Gruß MSS

Das Thema "Trigonometrie" hat mein alt schlecht ausgebildeter Lehrer aufgrund von Unkenntnis nie durchgeführt...












smile

Vielen Dank
Ich eröffne übrigens voraussichtlich in 10 min einen neuen Thread- hoffe du bist dabei!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte, bitte, kein Problem. Augenzwinkern

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Aufgabe, die dazu gehört:

Zeige:

Ich hatte ja eben die Formel. Dann habe ich es folgendermaßer gemacht:



so weit richtig?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Formel irgendwie vollkommen falsch angewandt. Wie kommst du darauf?

Gruß MSS

PS: Du kannst das Ganze auch etwas einfach über eine Substitution lösen! Dabei könnte man die folgende Formel benutzen:

.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Du hast die Formel irgendwie vollkommen falsch angewandt. Wie kommst du darauf?

PS: Du kannst das Ganze auch etwas einfach über eine Substitution lösen!


Sowas wie Substitution hatten wir noch nicht. Wir sollen es über diese Formel zeigen.

Wie wende ich denn die Formel dann an? Der erste Summand müsste stimmen, aber wie lautet der 2. Summand?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, so wie sie da steht. Was soll ich dazu noch sagen? Augenzwinkern
Zeig einfach mal, wie du das gemacht hast.

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würde es so machen:

sagen wir, dass wir n=2 hätten, dann gilt:




oder?

edit:wobei man den zweiten Summanden weglassen kann
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst du am Anfang aber auch und nicht einsetzen! Und in der Formel kannst du dann natürlich auch einsetzen! Du musst dann aufpassen, dass du nicht noch integrierst mit der Formel, obwohl der Exponent schon ist! Die Formel gilt nämlich natürlich nur für . Es folgt:

.

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Dann musst du am Anfang aber auch und nicht einsetzen! Und in der Formel kannst du dann natürlich auch einsetzen! Du musst dann aufpassen, dass du nicht noch integrierst mit der Formel, obwohl der Exponent schon ist! Die Formel gilt nämlich natürlich nur für . Es folgt:

.

Das Problem ist, dass ich einfach Zitat nehme und manchmal vergesse, solche Kleinigkeiten zu korrigieren, aber ich finde es, sehr gut, dass du dir Mühe machst, das zu erwähnen, weil das hilft immer Big Laugh
Wie meinst du, dass ich nicht integrieren soll , obwohl der Exponent 0 ist?

Die Formel wird einfacher angewendet als erwartet:


edit:

weiter? Ich bekomme ein falsches Ergebnis raus...

Edit 2: Ich merke gerade, dass ich das Integral abgeleitet habe... Vielleicht liegt es auch an meiner Müdigkeit, da ich 3 Tage nicht mehr richtig geschlafen habe... Wie kann ich das lösen ohne Integration?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, für kannst du die Gleichung nicht benutzen:



funktioniert, wie du siehst, nicht. Augenzwinkern
Zur Aufgabe: Auch für gilt die Rekursionsgleichung! Du kannst sie also nochmal anwenden und dann alles einsetzen.

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, aber ich verstehe nicht, was du meinst...
Ich weiß nicht ,was eine Rekursionsgleichung ist- hör ich zum zweiten Mal - jetzt und vor 5 min im Buch, denn da steht unter der Aufgabe:
Bemerkung: Das Integral wird hier auf eines vom gleichen Typ zurückgeführt, wobei sich der Exponent um 2 reduziert. In der Integralrechnung gibt es viele derartige Rekursionsformeln

Ich versteh nicht ,was sie damit meinen...

ALso ich fasse zusammen, wie ich dich bisher verstanden habe:

-Ich darf n=0 nicht einsetzen, weil es sonst Nenner 0 gibt, was nicht definiert.
- Wenn wir n=2 einsetzen, dann erhalten wir ein Integral mit dem Exponent 0. Dieses können wir aber integrieren (Wenn nicht, dann versteh ich nicht warum)
- Diese gültige Integrationsregel hat für jedes n in der Menge der natürlichen Zahlen zwei Summanden.

Ist alles richtig? Wenn ja, dann folgende Fragen:

-Was genau ist eine Rekursionsformel?
-Wie berechne ich das mit n=5?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hast du richtig verstanden. Eine Rekursionsformel ist im Prinzip eine Gleichung für eine Folge, in der das Folgenglied und vorherige Folgenglieder vorkommen. Man könnte auch sagen:

.

Dann gilt



und somit wegen deiner Formel:

.

Zu : Zunächst hast du schon richtig



hingeschrieben. Jetzt kannst du in deine Formel ja auch mal einsetzen! Dann erhältst du:

.

Und das kannst du in einsetzen und dann alles ausrechnen!

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »



Krass, das sind so Tricks, an die ich gar nicht gedacht hätte...
Ey echt cool erklärt- Respekt!

Das mit der Rekursion heißt also, dass man einfach den Exponenten des zweiten Summanden als n in diese allgemein gültige Integrationsregel einsetzt und dann dadurch ganz einfach die Integration von sinus von x mit dem Exponenten drei bekommt

Und jetzt bekommt auch alles einen Sinn- deswegen hast du vorhin gemeint ,dass der Exponent 0 als n nicht verwendet werden, wobei ich mich gefragt habe, dass ich doch gar nicht n=0 , sondern n=2 eingesetzt habe...

Auf jedenfall ich habe es verstanden

Lösung:



So ich hör mal ab diesen Punkt auf. Geht es noch weiter oder was habe ich falsch gemacht?

edit: ach ich glaube ich habe meinen Fehler- Soweit rechnen bis n=0! Edit folgt in höchstens 10min
man muss dann n=1 einsetzen und dann hört es auf, aber ich bekomme nicht das Ergbnis...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich verstehe nicht, was du da machst. Nach dem Einsetzen erhält man:

.

Das musst du nur noch ausrechnen.

Gruß MSS

edit: Ah, du hast die immer gleich weggelassen. Das ist ok bei den ersten beiden Summanden, da ist.
Aber beim geht das nicht, da gilt! Außerdem hast du nicht korrekt ausmultipliziert!
Beachte übrigens , dann bleibt am Ende:

.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Fehler von mir war die ganze Zeit, dass ich im Taschenrechner nicht auf Rad eingestellt hatte( habe es eben bemerkt :hammersmile

Deine Regeln helfen mir sehr!

Noch eine letzte Frage:
Wir hören mi n=1 auf. Theoretisch müsste es doch weitergehen, denn danach folgen negative Exponente. Oder hört muss man ab da aufhören, weil der andere Rest sowieso nur noch 0 ergeben würde? Ich denke- das müsste die Antwort sein, aber trotzdem frage ich lieber einen Experten
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bei brauchst du die Formel nicht. Du solltest auch so wissen, dass gilt.
Aber für kann man die Formel auch noch anwenden, da kommt dann das Gleiche raus:

.

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Bei brauchst du die Formel nicht. Du solltest auch so wissen, dass gilt.
Aber für kann man die Formel auch noch anwenden, da kommt dann das Gleiche raus:

.

Gruß MSS


Danke Danke und nochmals Danke!!!

edit: 2 Fragen habe ich doch nochmal

Wenn wir n=1 in dieser Rekursionformel einsetzen, dann kommt ja folgendes:



1. Warum ist nach dem kein x für den Sinus enthalten ? Vielleicht eine kürzere Schreibweise? Wenn ja, gilt das immer?

Eigentlich ist für n=5 nur diese Stammfunktion wichtig.
Wir setzen die beiden Grenzen ein und bekommen:



Da hier 1 ist, können wir es ignorieren. Außerdem ist es . Doch schreiben wir mit sinx :







So haben wir es vorhin gemacht, was man gar nicht darf!!

2. Nach meinem Taschenrechner kommt Error raus wegen dem 0 im Sinusausdruck.
Eigentlich müssten beide Wege gehen, aber wie erklärt man das mathematisch? Wir dürften doch das Sinus eigentlich doch gar nicht wegschreiben, weil hier 0 eingesetzt wird!
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe meine letzte Frage im Edit (s.o.)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
1. Warum ist nach dem kein x für den Sinus enthalten ? Vielleicht eine kürzere Schreibweise? Wenn ja, gilt das immer?

Wenn ich das richtig sehe, hast du es vergessen und ich hab es richtig hingeschrieben ...
Zur zweiten Frage: Es gilt

.

Du kannst das auch gerne umschreiben zu , dann musst du aber definieren (mind.) für alle . Damit musst du auch definieren, was an sich auch relativ üblich ist. Allerdings ist in manchen Situationen auch sinnvoll. Deswegen gibt dir dein TR einen Error. Aber wenn du definierst, dann klappt alles.

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zitat:
Original von PG
1. Warum ist nach dem kein x für den Sinus enthalten ? Vielleicht eine kürzere Schreibweise? Wenn ja, gilt das immer?

Wenn ich das richtig sehe, hast du es vergessen und ich hab es richtig hingeschrieben ...


so stand es im Buch, sonst hätte ich nicht gefragt smile Also warum so?


Zitat:
.

Du kannst das auch gerne umschreiben zu , dann musst du aber definieren (mind.) für alle . Damit musst du auch definieren, was an sich auch relativ üblich ist. Allerdings ist in manchen Situationen auch sinnvoll. Deswegen gibt dir dein TR einen Error. Aber wenn du definierst, dann klappt alles.


Nach dieser Regel gilt es auch nicht für Null



Wegen Nenner .Also was nun?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
Wegen Nenner .Also was nun?

Diese Regel gilt ja auch nur für . Augenzwinkern
Wie gesagt, man definiert es sich immer so, wie es gerade passt, Hauptsache die Darstellung stimmt dann. Und hier ist das nunmal .
Zur ersten Frage: Wenn das eine Abkürzung sein soll, dann ist sie jedenfalls sehr, sehr unüblich! Also gar nicht erst angewöhnen, sondern immer alles mit dazuschreiben!

Gruß MSS
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Hier seh ich einen Widerspruch in der Mathematik... was solls...

Ok ich werde es mir nicht angewöhnen
Danke smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
Hier seh ich einen Widerspruch in der Mathematik...

Nix mit Widerspruch - sondern nur leichtfertiger Umgang mit dem Geltungsbereich von Formeln. Sorgfältig gemacht gibt es kein Problem. Augenzwinkern
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