Länge der Kurve

21.09.2010, 10:46

spanky-long

Länge der Kurve

Meine Frage:
Hey,

ich sitz vor alten Prüfungsaufgaben und habe folgendes Problem:
Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{x}{3} - 1)*\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Länge der Kurve zwischen den beiden Schnittpunkten mit der x-Achse!

Ich denke man sieht relativ gut, dass die Schnittpunkte mit der x-Achse
0 und 3 sind.

Die Formel für die Berechnung der Länge ist meines Wissens nach:

$\begin{eqnarray*} L=\int_a^b \! \sqrt{1+(f'(x))^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Ableitung ist demnach (denke ich):

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{\sqrt{x}}{3} *\frac{\frac{x}{3} - 1 }{2*\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

Wenn ich das ganze jetzt aber in die Formel einsetzen, kommt da jeweils 1 raus - und 1-1 ist immernoch 0 - aber die Kurve ist länger als 0 LE!

Was mach ich falsch?!
Vielen Dank im Voraus!!

mfg
ham

edit ( Mazze ) : Die Formeln kommen in die Latexumgebung (oben f(x) Schalter)

21.09.2010, 10:51

Mazze

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Hast Du da einen Tipfehler drin? Die Ableitung ist

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{\frac{x}{3} - 1 }{2*\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

21.09.2010, 11:13

spanky-long

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Hey, erstmal danke für die schnelle Antwort!

Also ich hatte tatsächlich einen Schreib- und Tippfehler.
Aber wenn ich wiederum das jetzt alles einsetze und ausrechne, kommen ich auf

\sqrt{1+\frac{(\sqrt{3}}{3})^{2}}-\sqrt{1}

(also wurzel 3 durch 3 zum quadrat soll das sein)

und das sind ja 4/3 - 1, und das sind nur 1/3 -> aber ist die kurve wirklich nur soo kurz?!

oder hab ich nen Denk-/Rechenfehler?!

dankeschön

21.09.2010, 11:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von spanky-long
oder hab ich nen Denk-/Rechenfehler?!

Eher einen Rechenfehler. Zeige, was du rechnest, dann sehen wir weiter.

21.09.2010, 11:45

spanky-long

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ich setze die Grenzen in die Ableitung ein:

$\begin{eqnarray*} f'(3)=\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1-1}{2*\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Da kommt dann also $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}$ raus.

wenn ich 0 einsetze kommt 0 raus.

Das jetzt wieder in die längenformel:
$\begin{eqnarray*} L=\int_0^3 \! \sqrt{1+ (f'(x))^{2} }\, dx \end{eqnarray*}$

und ich habe:
$\begin{eqnarray*} \left[\sqrt{1 + (\frac{\sqrt{x}}{3}+\frac{\frac{x}{3}-1 }{2*\sqrt{x}})^{2}} \right]_{3}^{0} \end{eqnarray*}$

achja.. jetz kenn ich mein Problem:
das Integral wird JETZT gelöst, dann die Integralgrenzen einsetzen, und fertig?

oh man ey unglücklich

21.09.2010, 12:04

klarsoweit

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Ja.

21.09.2010, 12:13

spanky-long

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oh man,

egal was ich versuche, ich krieg das integral scheinbar nicht richtig gelöst, da immer ergebnisse unter 3 rauskommen würden, und das bei der funktion ja eigentlich nicht sein kann!?

wirkt es zu egoistitisch um eine auflösung des Integrals zu bitten? ich kapier das einfach nicht... :/ bis hierhin dachte ich läuft alles, wollte es nur noch mal kurz rekapitulieren weil morgen prüfung ist, und jetzt sowas -_-

trotzdem vielen dank für eure hilfe!!!

21.09.2010, 12:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von spanky-long
wirkt es zu egoistitisch um eine auflösung des Integrals zu bitten?

In der Tat. Du solltest einfach mal ausführlich schreiben, was du rechnest.

21.09.2010, 12:52

Booker

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Übrigens ist

$\begin{eqnarray*} f'(x) =\frac{\sqrt{x}}{3}+\frac{\frac{x}{3}-1}{2\cdot\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \end{eqnarray*}$

für x=0 nicht 0.

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