| 21.09.2010, 12:28 |
cloudscraper |
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[Elementare Mathematik: Abbildungen]
Gegeben seien die Abbildungen f: X -> Y; g: Y -> Z.
Zeigen Sie:
a) Wenn f und g injektiv sind, dann ist auch g o f injektiv.
b) Wenn f und g surjektiv sind, dann ist auch g o f surjektiv.
c) Wenn f und g bijektiv sind, dann ist auch g o f bijektiv.
Ich habe keinen blassen Schimmer, wie ich den ersten Schritt machen muss / machen soll. Bzw. was genau verlangt wird.
Die Begriffe:
injektiv (= einem Element aus einer Menge B wird GENAU ein Element aus A zugewiesen )
surjektiv (= jedes Element der Menge B wird von (mind) einem Element aus A getroffen)
bijektiv ( es wird jedem Element von B genau ein Element von A zugewiesen; man kann eine Umkehrfunktion bilden)
sind mir jedoch bekannt.
Kann mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben? 
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| 21.09.2010, 12:40 |
tmo |
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RE: [Elementare Mathematik: Abbildungen]
| Zitat: |
Original von cloudscraper
Die Begriffe:
injektiv (= einem Element aus einer Menge B wird GENAU ein Element aus A zugewiesen )
surjektiv (= jedes Element der Menge B wird von (mind) einem Element aus A getroffen)
bijektiv ( es wird jedem Element von B genau ein Element von A zugewiesen; man kann eine Umkehrfunktion bilden)
sind mir jedoch bekannt.
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Hast du auch formale Definitionen? Diese Definitionen sind schwammig formuliert und vor allem im Falle der Injektivität sogar falsch. Mit denen müsstest du nämlich arbeiten. |
| 21.09.2010, 14:19 |
cloudscraper |
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Meinst du sowas in der Art?
| Zitat: |
Ist f : A -> B eine Abbildung, so heißt f eine
surjektive Abbildung oder eine Surjektion, wenn jedes Element von B ein Bild unter f ist, d.h. wenn für jedes y e B ein x e A mit f (x) = y existiert.
injektive Abbildung oder eine Injektion, wenn zwei verschiedene Elemente von A immer zwei verschiedene Bilder haben, d.h. wenn für x1;x2 e A mit x1 != x2 immer f (x1) != f (x2) gilt.
bijektive Abbildung oder eine Bijektion, wenn sie injektiv und surjektiv ist, d.h. wenn jedes Element von y e B Bild von genau einem x e A ist. |
| Zitat: |
| Beispiel 34 f : A -> B aus Abbildung 1.12 ist surjektiv, denn jedes Element aus B ist Bild eines Elementes aus A, aber wegen f (b) = f (c) ist f nicht injektiv und damit auch nicht bijektiv. |
| Zitat: |
| Beispiel 35 f : A -> B aus Abbildung 1.13 ist injektiv, denn jedes Element aus A wird auf ein Element aus B abgebildet, auf das kein anderes Element aus A abgebildet wird. f ist aber nicht surjektiv, da nicht jedes Element aus B ein Bild eines Elementes aus A ist. Damit ist f auch nicht bijektiv. |
| Zitat: |
| f : A -> B aus Abbildung 1.14 ist injektiv und surjektiv. Damit ist f also bijektiv. |
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