Lagrange |
21.09.2010, 13:45 | kerstin_p | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lagrange welche von den ellipsen x²/a²+y²/b²=1 ,(a,b>0), die durch den festen Punkt P(u,v), (u,v>0) gehen, hat den kleinsten Inhalt und wie groß ist dieser? Meine Ideen: und zwar meine nebenbedingung ist ja x²/a²+y²/b²=1 aber was ist meine eigentlich funktion. wäre echt über jeden tipp sehr dankbar. |
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21.09.2010, 13:52 | Booker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da u und v größer 0 sind, kannst du ohne Beschränkung der Allgemeinheit y,x > 0 annehmen, also nur den ersten Quadranten betrachten. Am Ende musst du den erhaltenen Flächeninhalt noch vervierfachen, da die Ellipse ja in allen 4 Quadranten liegt. |
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23.09.2010, 22:49 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: lagrange was muss man hier als hauptfunktion nehmen das ist bei der aufgabe einwenig verwirrend. könnte es sein das die funktion 4xy lautet da du ja ausch geschriben hast in allen 4 quadranten. und dann wie gewohnt lagrange anwenden. ??? |
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23.09.2010, 22:54 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: lagrange
Nein, der Ellipsen-Flächeninhalt ist . |
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23.09.2010, 22:54 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich zitiere mich selbst:
edit: Wobei ich immer noch nicht weiß, was mit Punkt gemeint ist? Vielleicht der Punkt ? |
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23.09.2010, 23:04 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. |
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23.09.2010, 23:08 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu dem punkt kann ich leider auch nichts sagen. aber dann wäre f(x,y)=pi*xy und NB x²/a²+y²/b²=1. oder |
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23.09.2010, 23:15 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. |
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23.09.2010, 23:16 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kommst du darauf? |
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23.09.2010, 23:19 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
weil die NB ja auch so in der aufgabenstellung steht aber anscheinend muss man x² und y² mit u² und v² ersetzen |
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23.09.2010, 23:21 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du eine Idee, warum ich und da eingesetzt habe? Was gilt denn für Punkte, die auf der Ellipse liegen? Und welcher Punkt soll darauf liegen? |
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23.09.2010, 23:25 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
der punkt mit dem kleinsten inhalt????kannst du es mir vllt erklären |
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23.09.2010, 23:31 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir suchen keinen Punkt, sondern eine Ellipse. Da kann man auch viel besser von Inhalt sprechen. Und zwar suchen wir die Ellipse mit dem kleinsten Inhalt. Wodurch ist eine Ellipse eindeutig charakterisiert? Durch die Länge der Halbachsen. D.h. wir müssen und bestimmen. Nun betrachten wir aber nur die Ellipsen, die durch den Punkt gehen. Das heißt die Nebenbedingung ist, dass dieser Punkt die jeweilige Ellipsengleichung erfüllt. Also setzen wir ihn dort ein. |
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24.09.2010, 19:03 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe leider immer noch probleme mit dieser aufgabe. ich habe ja jetzt die funktion mit der nebenbedingung aber wenn ich das jetzt ausrechnen will hackt es bei mir.wie rechne ich sowas aus. muss ich erst nach a und dann nach b ableiten aber danach komme ich auch nicht weiter :methode lagrange aber |
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24.09.2010, 19:16 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also du definiert . (Statt kannst du auch nehmen, das ist egal.) Und dann leitest du partial nach und ab. Du erhäst und . Dann stellst du die Gleichungen und auf. Und das (nicht-lineare) Gleichungssystem musst du lösen. |
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24.09.2010, 21:50 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und zwar wenn ich diese nach a und b ableite bekomme ich folgendes raus: was muss ich jetzt aber machen?? |
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24.09.2010, 21:52 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
24.09.2010, 21:55 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bei der vorschau wird es angezeigt aber wieso hier nicht??? |
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24.09.2010, 22:10 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du bist also Astrophysiker, oder warum setzt du ? Sei es drum, für die Rechnung ist das egal. Ansonsten müsste das passen. Dann rechne mal weiter. Zum Beispiel könntest du das beides passend umformen und in die dritte Bedingung einsetzen. edit: Falls das nicht klar ist: Du musst die beiden Ausdrücke gleich null setzen! |
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24.09.2010, 22:21 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stimmt das hast du schon recht pi hätte ich mitschleppen müssen man sieht ja das die erste gleichung und die zweite symmetrsch zueinader sind. ich habe dann versucht die erste mit a und die zweite mit b zu multiplizieren . und sie dann auf addiert. und dann habe ich lamda rausbekommen diese habe ich in die erste gleichung eingestzt aber wieder ohne erfolg. stimmt dieses vorgehen? ich mach wahrscheinlich immer noch was falsch |
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24.09.2010, 22:30 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Vorgehen ist richtig, wenn du auf ein Ergebnis kommst. Lineare Gleichungssysteme lösen ist Handwerk - nicht-lineare Gleichungssysteme lösen ist Kunst! Wenn ich mit bzw. multipliziere und beide Gleichungen addiere, komme ich auf , was sich zu umformen lässt. edit: Achso, ich glaube ich habe nicht richtig gelesen. Du hast das jetzt in g=0 eingesetzt und erhalten. Und mit dem hast du und ausgerechnet. Ja, gut. |
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24.09.2010, 22:35 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau so ähnlich hatte ich das auch aber muss im nenner nicht a³und b³ stehen weil wir das ja vorher abgeleitet hatten. dadurch kam ich auch nicht weiter |
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24.09.2010, 22:35 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich dachte, du hättest mit bzw. durchmultipliziert... |
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24.09.2010, 22:36 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jo hat sich geklärt da hatte ich was übershen ; |
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24.09.2010, 22:45 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
cool hey ich danke dir voll ich glaube ich hab die lösung : |
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24.09.2010, 22:46 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
24.09.2010, 22:59 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das habe ich auch. Jetzt stellt sich natürlich schon die Frage, ob das wirklich das gesuchte Minimum ist... edit: Ein guter Rat: Finger weg von höheren Ableitungen! Das muss so gehen. Schauen wir uns die Nebenbedingung noch einmal an. Es gelten: und sowie und . Folglich können wir (in kanonischer Weise) eine kompakte Teilmenge von wählen, so dass für ist. Auf muss ein Minimum annehmen. Dieses muss aus Stetigkeitsgründen im Inneren liegen. |
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24.09.2010, 23:24 | plato_12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaube Minimum wäre doch a und b einfach in die Funktion eingesetzt. |
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24.09.2010, 23:25 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Aber aus der Lagrange-Methode folgt nicht, dass es sich um ein lokales oder gar globales Minimum handelt. |
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