Lagrange

21.09.2010, 13:45

kerstin_p

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Lagrange

Meine Frage:
welche von den ellipsen x²/a²+y²/b²=1 ,(a,b>0), die durch den festen Punkt P(u,v), (u,v>0) gehen, hat den kleinsten Inhalt und wie groß ist dieser?

Meine Ideen:
und zwar meine nebenbedingung ist ja x²/a²+y²/b²=1 aber was ist meine eigentlich funktion. wäre echt über jeden tipp sehr dankbar.

21.09.2010, 13:52

Booker

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Da u und v größer 0 sind, kannst du ohne Beschränkung der Allgemeinheit y,x > 0 annehmen, also nur den ersten Quadranten betrachten. Am Ende musst du den erhaltenen Flächeninhalt noch vervierfachen, da die Ellipse ja in allen 4 Quadranten liegt.

23.09.2010, 22:49

plato_12

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RE: lagrange
was muss man hier als hauptfunktion nehmen das ist bei der aufgabe einwenig verwirrend. könnte es sein das die funktion 4xy lautet da du ja ausch geschriben hast in allen 4 quadranten. und dann wie gewohnt lagrange anwenden. ???

23.09.2010, 22:54

wisili

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RE: lagrange

Zitat:

Original von maraz_1
was muss man hier als hauptfunktion nehmen das ist bei der aufgabe einwenig verwirrend. könnte es sein das die funktion 4xy lautet ... ???

Nein, der Ellipsen-Flächeninhalt ist $\begin{eqnarray*} \pi a b \end{eqnarray*}$ .

23.09.2010, 22:54

Cugu

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Ich zitiere mich selbst:

Zitat:

So wie es aussieht musst du den Flächeninhalt - das müsste doch sowas sein wie $\begin{eqnarray*} f(a,b)=\pi ab \end{eqnarray*}$ - unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} g(a,b)=\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}-1=0 \end{eqnarray*}$ minimieren.

edit:
Wobei ich immer noch nicht weiß, was mit Punkt $\begin{eqnarray*} P(u,v) \end{eqnarray*}$ gemeint ist? Vielleicht der Punkt $\begin{eqnarray*} P=(u,v) \end{eqnarray*}$ ?

23.09.2010, 23:04

wisili

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Ja.

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23.09.2010, 23:08

plato_12

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zu dem punkt kann ich leider auch nichts sagen.
aber dann wäre f(x,y)=pi*xy und NB x²/a²+y²/b²=1. oder

23.09.2010, 23:15

wisili

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Nein.

23.09.2010, 23:16

Cugu

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Zitat:

f(x,y)=pi*xy und NB x²/a²+y²/b²=1.

Wie kommst du darauf?

23.09.2010, 23:19

plato_12

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weil die NB ja auch so in der aufgabenstellung steht aber anscheinend muss man x² und y² mit u² und v² ersetzen

23.09.2010, 23:21

Cugu

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Hast du eine Idee, warum ich $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ da eingesetzt habe? Was gilt denn für Punkte, die auf der Ellipse liegen? Und welcher Punkt soll darauf liegen?

23.09.2010, 23:25

plato_12

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der punkt mit dem kleinsten inhalt????kannst du es mir vllt erklären

23.09.2010, 23:31

Cugu

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Wir suchen keinen Punkt, sondern eine Ellipse. Da kann man auch viel besser von Inhalt sprechen.

Und zwar suchen wir die Ellipse mit dem kleinsten Inhalt. Wodurch ist eine Ellipse eindeutig charakterisiert? Durch die Länge der Halbachsen. D.h. wir müssen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Nun betrachten wir aber nur die Ellipsen, die durch den Punkt $\begin{eqnarray*} (u,v) \end{eqnarray*}$ gehen. Das heißt die Nebenbedingung ist, dass dieser Punkt die jeweilige Ellipsengleichung erfüllt. Also setzen wir ihn dort ein.

24.09.2010, 19:03

plato_12

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ich habe leider immer noch probleme mit dieser aufgabe. ich habe ja jetzt die funktion mit der nebenbedingung aber wenn ich das jetzt ausrechnen will hackt es bei mir.wie rechne ich sowas aus. muss ich erst nach a und dann nach b ableiten aber danach komme ich auch nicht weiter :methode lagrange aber

24.09.2010, 19:16

Cugu

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Also du definiert $\begin{eqnarray*} L:=f+\lambda g \end{eqnarray*}$ .
(Statt $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ kannst du auch $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ nehmen, das ist egal.)

Und dann leitest du $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ partial nach $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ab. Du erhäst $\begin{eqnarray*} L_a, L_b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_\lambda \end{eqnarray*}$ .

Dann stellst du die $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ Gleichungen $\begin{eqnarray*} L_a=0, L_b=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_\lambda(=g)=0 \end{eqnarray*}$ auf.

Und das (nicht-lineare) Gleichungssystem musst du lösen.

24.09.2010, 21:50

plato_12

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und zwar wenn ich diese nach a und b ableite bekomme ich folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} b-\frac{2u^{2}\lambda }{a^{3} <br /> }//a-\frac{2v^{2}\lambda }{b^{3} } \end{eqnarray*}$

was muss ich jetzt aber machen??

24.09.2010, 21:52

plato_12

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$\begin{eqnarray*} b-\frac{2u^{2}\lambda }{a^{3} <br /> };a-\frac{2v^{2}\lambda }{b^{3} } \end{eqnarray*}$

24.09.2010, 21:55

plato_12

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$\begin{eqnarray*} b-\frac{2u^{2}\lambda}{a^{3}};a-\frac{2v^{2}\lambda}{b^{3}} \end{eqnarray*}$
bei der vorschau wird es angezeigt aber wieso hier nicht???

24.09.2010, 22:10

Cugu

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Du bist also Astrophysiker, oder warum setzt du $\begin{eqnarray*} \pi=1 \end{eqnarray*}$ ? Sei es drum, für die Rechnung ist das egal.

Ansonsten müsste das passen. Dann rechne mal weiter. Zum Beispiel könntest du das beides passend umformen und in die dritte Bedingung einsetzen.

edit:
Falls das nicht klar ist:
Du musst die beiden Ausdrücke gleich null setzen!

24.09.2010, 22:21

plato_12

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stimmt das hast du schon recht pi hätte ich mitschleppen müssen Augenzwinkern

Augenzwinkern

man sieht ja das die erste gleichung und die zweite symmetrsch zueinader sind. ich habe dann versucht die erste mit a und die zweite mit b zu multiplizieren . und sie dann auf addiert. und dann habe ich lamda rausbekommen diese habe ich in die erste gleichung eingestzt aber wieder ohne erfolg. stimmt dieses vorgehen? ich mach wahrscheinlich immer noch was falsch

24.09.2010, 22:30

Cugu

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Das Vorgehen ist richtig, wenn du auf ein Ergebnis kommst. Lineare Gleichungssysteme lösen ist Handwerk - nicht-lineare Gleichungssysteme lösen ist Kunst!

Wenn ich mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ multipliziere und beide Gleichungen addiere, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} 2ab\pi-\frac{2u^{2}\lambda}{a^{2}}-\frac{2v^{2}\lambda}{b^{2}}=0 \end{eqnarray*}$ ,
was sich zu

$\begin{eqnarray*} ab\pi=\left(\frac{u^{2}}{a^{2}}+\frac{v^{2}}{b^{2}}\right)\lambda \end{eqnarray*}$
umformen lässt.

edit:
Achso, ich glaube ich habe nicht richtig gelesen. Du hast das jetzt in g=0 eingesetzt und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ erhalten.
Und mit dem $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hast du $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ausgerechnet. Ja, gut. Freude

Freude

24.09.2010, 22:35

plato_12

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genau so ähnlich hatte ich das auch aber muss im nenner nicht a³und b³ stehen weil wir das ja vorher abgeleitet hatten. dadurch kam ich auch nicht weiter

24.09.2010, 22:35

Cugu

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Ich dachte, du hättest mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ durchmultipliziert...

24.09.2010, 22:36

plato_12

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jo hat sich geklärt da hatte ich was übershen ;

24.09.2010, 22:45

plato_12

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cool hey ich danke dir voll ich glaube ich hab die lösung :

24.09.2010, 22:46

plato_12

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$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{2}u, b=\sqrt{2}v \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

24.09.2010, 22:59

Cugu

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Ja, das habe ich auch. Tanzen

Tanzen

Jetzt stellt sich natürlich schon die Frage, ob das wirklich das gesuchte Minimum ist...

edit:
Ein guter Rat: Finger weg von höheren Ableitungen! Das muss so gehen.
Schauen wir uns die Nebenbedingung noch einmal an.
$\begin{eqnarray*} \frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$

Es gelten:
$\begin{eqnarray*} b\to v \Rightarrow a\to \infty \Rightarrow ab\to \infty \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} a\to \infty \Rightarrow b\to v \Rightarrow ab\to \infty \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} b\to \infty \Rightarrow a\to u \Rightarrow ab\to \infty \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} a\to u \Rightarrow b\to \infty \Rightarrow ab\to \infty \end{eqnarray*}$ .

Folglich können wir (in kanonischer Weise) eine kompakte Teilmenge $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} L=\left\{(a,b):\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}=1\right\} \end{eqnarray*}$ wählen,
so dass $\begin{eqnarray*} f(a,b)\geq 3uv\pi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (a,b) \in L\setminus K \end{eqnarray*}$ ist.

Auf $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Minimum annehmen. Dieses muss aus Stetigkeitsgründen im Inneren liegen.

24.09.2010, 23:24

plato_12

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ich glaube Minimum wäre doch
$\begin{eqnarray*} A=2uv\pi \end{eqnarray*}$
a und b einfach in die Funktion eingesetzt.

24.09.2010, 23:25

Cugu

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Ja. Aber aus der Lagrange-Methode folgt nicht, dass es sich um ein lokales oder gar globales Minimum handelt.

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