Sind diese Abbildungen in.-,sur.- oder bijektiv,

21.09.2010, 13:54

gast555

Sind diese Abbildungen in.-,sur.- oder bijektiv,

Bitte nur mal drüberschauen ob das so korrekt ist
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R _{\geq 0}\rightarrow\mathbb R_{\geq 0} ;x\mapsto x² \end{eqnarray*}$ bijektiv
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R _{\geq 0}\rightarrow\mathbb R ;x\mapsto x^{3} \end{eqnarray*}$ injektiv
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow\mathbb R ;x\mapsto x^{3} \end{eqnarray*}$ bijektiv
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow\mathbb R ;x\mapsto x^{3}-3x²+x-7 \end{eqnarray*}$ bijektiv
bei letzterer bin ich mir nicht ganz sicher, wie man da rangeht. Es sollte aber für jedes x Element R ein y(=x³-3x²+x-7) "getroffen" werden (injektiv)

21.09.2010, 14:02

Mazze

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Zitat:

Es sollte aber für jedes x Element R ein y(=x³-3x²+x-7) "getroffen" werden (injektiv)

Natürlich wird es das, dass ist die Definition einer Abbildung. Injektiv ist das Ding aber nicht, wohl aber Surjektiv. Deine restlichen Überlegungen sind aber korrekt.

21.09.2010, 14:05

gast555

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Danke
Ich habe vergesen maximal einmal dazuzuschreiben, das ist aber anscheinend falsch da du sagst die Abb ist surjektiv... Wie kommst du darauf?
viele Grüße

21.09.2010, 14:21

Booker

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Injektiv bedeutet, dass jedes Element des Wertebereichs maximal einem Element des Definitionsbereichs zugeordnet ist.(alle Funktionswerte kommen nur 1x vor)

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element des Wertebereichs mindestens einem Element des Definitionsbereichs zugeordnet ist.(alle Werte des Wertebereichs werden auch durch die Funktion erreicht)

Bijektiv bedeutet sowohl injektiv als auch surjektiv, also jedes Element des Wertebereichs genau einem Element des Definitionsbereichs zugeordnet ist

Jetzt überleg die mal was davon auf deine Funktion zutrifft.

21.09.2010, 14:42

gast333

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Danke!
Zitat: alle Werte des Wertebereichs werden auch durch die Funktion erreicht (surjektiv)
trifft auf die letzte Funktion zu
aber es ist doch auch jedes Element des Wertebereiches (R) maximal ein Element des Definitionsbereichs zugeordnent (injektiv)
und damit bijektiv
Oder kannst du mir ein Gegenbeispiel geben, bzw wie kommst du auf das Gegenbeispiel?

21.09.2010, 14:46

Mazze

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Es gibt sogar unendlich viele Gegenbeispiele. Um darauf zu kommen hilft folgende Überlegung. Offensichtlich ist

$\begin{eqnarray*} f(0) = -7 \end{eqnarray*}$

Jetzt wollen wir einen weiteren x-Wert finden so das

$\begin{eqnarray*} x^3 - 3x^2 + x - 7 = - 7 \end{eqnarray*}$

ist. Umgeformt ergibt das

$\begin{eqnarray*} x^3 - 3x^2 + x = 0 \end{eqnarray*}$

wenn Du eine weitere Nullstelle findest, (ausser der 0) hast Du dein Gegenbeispiel.

21.09.2010, 14:51

Gast555

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ahhhhhhh allles klar, danke!

21.09.2010, 14:58

Booker

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Jup ich war noch beim ausrechen^^

Die beiden anderen Lösungen sind $\begin{eqnarray*} \frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ .

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