unbestimmtes integral mittels reduktion

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21.09.2010, 15:53	Joschi123	Auf diesen Beitrag antworten »
unbestimmtes integral mittels reduktion Meine Frage: ich soll dieses unbestimmte integral mittels reduktion auf eine rationale funktion berechnen. $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{x\sqrt{x^2+2x-1} } \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: irgendeine substitution muss ich wohl durchführen aber ich komm einfach nicht drauf welche da gut wäre vielleicht kann mir hier ja jemand helfen danke schonmal joschi
21.09.2010, 16:02	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wär's denn wenn du einfach $\begin{eqnarray} z := \sqrt{x^2+2x-1} \end{eqnarray}$ substituierst und fröhlich losrechnest? Viel mehr bleibt ja eh nicht, wenn du schon weißt, dass eine rationale Funktion rauskommen soll. Und funktionieren sollte es
21.09.2010, 16:11	joschi123	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das hab ich versucht aber nicht so richtig hinbekommen :S vielleicht kannst du mir ja helfen
21.09.2010, 16:14	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann rechne doch erstmal los. Also als erstes $\begin{eqnarray} \frac{dz}{dx} \end{eqnarray}$ berechnen ... und dann Substitutionsregeln einsetzen und gucken was übrig bleibt.
21.09.2010, 16:28	Joschi123	Auf diesen Beitrag antworten »
muss dann nicht $\begin{eqnarray} dz = \frac{1}{2\sqrt{x^2+2x-1} } \end{eqnarray}$ sein? :/
21.09.2010, 16:44	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmh nein, du hast die innere Ableitung vergessen. (Kettenregel!)
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21.09.2010, 16:45	joschi123	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komm dann auf sowas hier: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{2}{\sqrt{z^2+2}-1 } \, dz \end{eqnarray}$ hab ich da irgendwo ein fehler gemacht?
21.09.2010, 16:47	joschi123	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man danke dann is es auch gleich viel leichter =)
21.09.2010, 16:58	joschi123	Auf diesen Beitrag antworten »
ok doch nicht ganz so leicht wie ich kurz dachte :O also ich hab jetzt $\begin{eqnarray} dz = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x-1} } dx \end{eqnarray}$ aber was mach ich mit dem x+1? und unter dem bruchstrich ist ja auch noch ein x ?
21.09.2010, 17:01	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib erstmal das substituierte Integral hin. Soweit stimmt es erstmal, was du geschrieben hast.
21.09.2010, 17:04	joschi123	Auf diesen Beitrag antworten »
ok wenn ich den bruch mit x+1 erweiter dann bekomme ich unterm bruchstrich $\begin{eqnarray} x^2+x \end{eqnarray}$ ich krieg das aber nicht umgestellt das ich irgendwas dafür rauskriege
21.09.2010, 17:10	joschi123	Auf diesen Beitrag antworten »
wie denn? :O ich muss doch noch irgendwie dieses $\begin{eqnarray} x^2+x \end{eqnarray}$ ersetzen oder nicht?
21.09.2010, 17:31	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh Mist, hab ich mich glaub selbst verrechnet. Ich lass mir nochmal was einfallen.
21.09.2010, 18:30	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer hat sich denn dieses wüste Integral einfallen lassen? Mit der Substitution $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{\sqrt 2} \cdot (u + \frac 1 u) - 1 \end{eqnarray}$ müßte es gehen, aber viel Spaß bei der Rechnung.
22.09.2010, 15:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Sache einigermaßen kompliziert ist, will ich das Boardprinzip einmal zur Seite schieben - man verzeihe mir - und eine Musterlösung präsentieren. Die folgende Substitution fällt nicht vom Himmel, sondern entsteht durch Zusammensetzung aus Standardsubstitutionen, die man typischerweise verwendet, um den Integranden nach und nach angenehmer zu machen. Ich habe auch einige Sorgfalt darauf verwendet zu begründen, für welche Bereiche die jeweiligen Umformungen Gültigkeit besitzen, denn ein rein formales Rechnen kann hier zur Katastrophe führen, wenn man nämlich zum Beispiel mit undefinierten Ausdrücken rechnet (etwa Wurzeln mit negativen Radikanden). Der Radikand $\begin{eqnarray} x^2 + 2x - 1 = (x+1)^2 - 2 \end{eqnarray}$ ist positiv für $\begin{eqnarray} x > \sqrt{2} - 1 \end{eqnarray}$ oder für $\begin{eqnarray} x < - \sqrt{2} - 1 \end{eqnarray}$ . Ich löse im Folgenden die Aufgabe nur für den ersten Fall. Ich definiere daher die Intervalle $\begin{eqnarray} I,J \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} I = \left( -1 \, , \, \sqrt{2} - 1 \right) \, , \ \ \ J = \left( \sqrt{2} - 1 \, , \, \infty \right) \end{eqnarray}$ und betrachte die Substitution $\begin{eqnarray} I \to J \, , \ \ t \mapsto x = \frac{1}{t+1} + \frac{1}{2} \left( t - 1 \right) \end{eqnarray}$ Die Funktion $\begin{eqnarray} t \mapsto x \end{eqnarray}$ ist bijektiv. Sie ist nämlich streng monoton fallend. Das sieht man etwa durch Berechnung der Ableitung: $\begin{eqnarray} \frac{\dd x}{\dd t} = \frac{1}{2} - \frac{1}{(t+1)^2} < 0 \ \ \mbox{für} \ \ t \in I \end{eqnarray}$ Und wegen $\begin{eqnarray} x \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ t \to -1+0 \ \ \ \text{und} \ \ \ x \to \sqrt{2} - 1 \ \ \mbox{für} \ \ t \to \sqrt{2} - 1 \end{eqnarray}$ wird auch wie angegeben $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ abgebildet. Infolge der Bijektivität der Funktion kann man $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als Funktion von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , aber ebenso $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ als Funktion von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auffassen und darf nach der einen wie der anderen Variablen auflösen oder mit beiden gleichzeitig arbeiten, obwohl sie voneinander abhängen. Zunächst gilt, wenn man in der definierenden Gleichung mit $\begin{eqnarray} t+1 \end{eqnarray}$ durchmultipliziert $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ \ x (t+1) = \frac{1}{2} \left( t^2 + 1 \right) \end{eqnarray}$ Jetzt bildet man auf beiden Seiten das Differential: $\begin{eqnarray} \dd \left( x (t+1) \right) = \dd \left( \frac{1}{2} \left( t^2 + 1 \right) \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ (t+1)~\dd x + x~\dd t = t~\dd t \end{eqnarray}$ und erhält hieraus $\begin{eqnarray} \text{(2)} \ \ \ (t+1)~\dd x = (t-x)~\dd t \end{eqnarray}$ Und bei $\begin{eqnarray} \text{(1)} \end{eqnarray}$ kann man so weiterrechnen: $\begin{eqnarray} 2xt + 2x = t^2 + 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ t^2 - 2xt = 2x - 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ (t-x)^2 = x^2 + 2x - 1 \end{eqnarray}$ Hier ist nun eine Gefahrenstelle. Man möchte gerne das Quadrat beseitigen. Die rechte Seite ist, wie schon besprochen, immer positiv (beachte: $\begin{eqnarray} x \in J \end{eqnarray}$ ). Die Basis der Potenz links ist jedoch immer negativ, und zwar wegen $\begin{eqnarray} t - x = t - \frac{1}{t+1} - \frac{1}{2} \left( t - 1 \right) = \frac{1}{2} \left( t + 1 \right) - \frac{1}{t+1} = \frac{\frac{1}{2} \left( t + 1 \right)^2 - 1}{t+1} < 0 \ \ \mbox{für} \ \ t \in I \end{eqnarray}$ Die richtige Auflösung ist also $\begin{eqnarray} \text{(3)} \ \ x - t = \sqrt{x^2 + 2x - 1} \end{eqnarray}$ Und mit $\begin{eqnarray} \text{(1),(2),(3)} \end{eqnarray}$ kommt man jetzt ans Ziel: $\begin{eqnarray} \frac{\dd x}{x \cdot \sqrt{x^2 + 2x - 1}} = \frac{\dd x}{x \cdot (x-t)} = \frac{(t+1)~\dd x}{x (t+1) \cdot (x-t)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{(t-x)~\dd t}{x (t+1) \cdot (x-t)} = - \frac{\dd t}{x(t+1)} = - \frac{2~\dd t}{t^2 + 1} \end{eqnarray}$ Mir ist klar, daß man, wenn man diese Lösung hier rezipiert, vielleicht jeden einzelnen Schritt nachvollziehen kann - und dann doch nicht wirklich versteht, wie einem geschieht. Denn warum ich an dieser oder jener Stelle gerade diese oder jene Umformung vorgenommen habe, bleibt unmotiviert. Der Fragesteller wird diese "Musterlösung" daher nicht glaubwürdig seinem Übungsleiter präsentieren können. Und das ist auch der Grund, warum ich glaube, letztlich doch nicht gegen das Boardprinzip verstoßen zu haben. Und im übrigen ist ja auch noch der Fall $\begin{eqnarray} x < - \sqrt{2} - 1 \end{eqnarray}$ offen. Ich kann Joschi123 nur empfehlen, für seine Lösung schrittweise vorzugehen und dem Integranden eine immer gefälligere Form zugeben. Wie wäre es zum Beispiel damit, im ersten Schritt den Radikanden auf die Form $\begin{eqnarray} v^2 - 1 \end{eqnarray}$ zu bringen? Dann sieht man weiter.

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