Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

21.09.2010, 16:20	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz in Wahrscheinlichkeit Wir hatten in der Vorlesung folgende (unbewiesene) Aussage: Sei $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) \end{eqnarray}$ ein Maßraum, $\begin{eqnarray} (X_n) \end{eqnarray}$ eine Folge von unabhängigen Zufallsgrößen (d.h. messbar und Abbildung nach $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ). Gilt $\begin{eqnarray} X_n \to X \end{eqnarray}$ in Wahrscheinlichkeit, so ist $\begin{eqnarray} X = c \end{eqnarray}$ fast sicher. Für den Beweis habe ich leider keine richtig brauchbare Idee. Meine erste Eingebung war $\begin{eqnarray} B_n := [\|X_n-c\| > \frac{1}{k}]<br /> A := \limsup_n B_n \end{eqnarray}$ zu betrachten. Dann weiß ich, dass $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ unabhängig und aus dem Lemma von Borel-Cantelli würde folgen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(A) = 0 \Leftrightarrow \sum_n \mathbb{P}(B_n) < \infty \end{eqnarray}$ Zwar weiß ich wegen der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{P}[\|X_n-X\| > \frac{1}{k}] \to 0 \end{eqnarray}$ , aber leider sichert mir das ja keinesfalls die Konvergenz irgendeiner Reihe. Also wohl eher eine Sackgasse. Mein Problem ist irgendwie insbesondere, dass ich keinen wirklichen "Kandidaten" für c gefunden habe, weil ich ja zunächst nichts über Integrierbarkeit oder ähnliches weiß. Für Alternativideen wäre ich dankbar.
22.09.2010, 11:33	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand eine Idee...?
22.09.2010, 20:10	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hat man? $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0: \lim_{n \to \infty} P \left( \|X_n - X\| > \epsilon \right) = 0 \end{eqnarray}$ und die $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ sind unabhängig. Angenommen X wäre nicht f.s. konstant ... meinst du man könnte das zusammen mit der unabhängigkeit der X_n zu einem wiederspruch führen? Villeicht via Terminale-Sigma-Algebra? (Ich habs nicht zu ende gedacht ... aber auf die schnelle wäre das mein Ansatz) P.S. Nach etwas überlegen glaube ich das der Schlüssel zum Erfolg im Detail liegt. D.h. man nehme an X sei nicht konstant und schreibt dann $\begin{eqnarray} \|X_{n_k}-X\|\geq \epsilon \end{eqnarray}$ in Mengenschreibweise wobei n_k eine Teilfolge von n ist s.d. \lim X_{n_k}=X f.s.

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