Exponentialgleichungen

21.09.2010, 16:53

Cheftheoretiker

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Exponentialgleichungen

Hallo,

ich sitze gerade an dem Thema Exponentialgleichungen und ich komme irgendwie nicht weiter...

folgende Aufgabe habe ich,

$\begin{eqnarray*} 2^{x+2}=5 \end{eqnarray*}$

ich bin folgendermaßen forgegangen.

dritte log. Gesetz.

$\begin{eqnarray*} (x+2)lg2=5 \end{eqnarray*}$

Jetzt weis ich aber irgendwie nicht weiter und ist es überhaupt richtig? verwirrt

verwirrt

Danke

smile

21.09.2010, 16:55

Johnsen

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Wenn du auf beiden Seiten den log anwedest, dann bitte auch auf der rechten Seite!
Dann teilst du durch lg 2 und schaufelst die 2 auf die rechts Seite!

21.09.2010, 16:58

Cheftheoretiker

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Okay, also...

$\begin{eqnarray*} (x+2)lg2=lg5 |:lg2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+2=\frac{lg5}{lg2} \end{eqnarray*}$

Darf ich jetzt rein rechnerisch auf der rechten Seite 5-2 rechnen? verwirrt

verwirrt

21.09.2010, 17:02

Johnsen

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Nein, warum? das lg-rechengesetz lautet ja so.

$\begin{eqnarray*} ln\left(\frac{a}{b}\right) = ln(a) -ln(b) \end{eqnarray*}$

aber bei dir ist ja der Bruch nicht im Argument des ln! Also so stehen lassen

21.09.2010, 17:08

Cheftheoretiker

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Hm, wieso muss ich denn jetzt nicht das zweite Logarithmengesetz anwenden? verwirrt

verwirrt

21.09.2010, 17:15

Johnsen

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Wie lautet das 2. log-Gesetz? (Sry aber die nummerierung ist mir neu)

Eigentlich bist du jetzt fertig, denn du hast ja ein Ergebnis.

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21.09.2010, 17:16

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Johnsen
Wie lautet das 2. log-Gesetz? (Sry aber die nummerierung ist mir neu)

Eigentlich bist du jetzt fertig, denn du hast ja ein Ergebnis.

Ich meine nur weil in meinen Lösungen $\begin{eqnarray*} -2+log_2 5 \end{eqnarray*}$

Steht. verwirrt

verwirrt

Ist das zweite Gesetz.
$\begin{eqnarray*} log_a\frac{a}{v}=log_au-log_av \end{eqnarray*}$

21.09.2010, 17:22

Johnsen

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naja überleg dir mal was $\begin{eqnarray*} log_2 5 \end{eqnarray*}$ ist! Das ist $\begin{eqnarray*} \frac{ln(5)}{ln(2)} \end{eqnarray*}$ also genau unser Ergebnis.

21.09.2010, 17:24

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Johnsen
naja überleg dir mal was $\begin{eqnarray*} log_2 5 \end{eqnarray*}$ ist! Das ist $\begin{eqnarray*} \frac{ln(5)}{ln(2)} \end{eqnarray*}$ also genau unser Ergebnis.

Wie, das müsste doch dann

$\begin{eqnarray*} x+2=lg5-lg2 \end{eqnarray*}$ heißen das ergibt dann $\begin{eqnarray*} x+2=lg3 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

21.09.2010, 17:27

Johnsen

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Jetzt wirfst du etliche Regeln durcheinander! Zunächst teilst du ja durch lg(2) !! Dann steht rechts schonmal kein +!Zudem WÄRE lg(5)-lg(2) nicht lg(3) sondern lg(2,5) !!

21.09.2010, 17:30

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Johnsen
Jetzt wirfst du etliche Regeln durcheinander! Zunächst teilst du ja durch lg(2) !! Dann steht rechts schonmal kein +!Zudem WÄRE lg(5)-lg(2) nicht lg(3) sondern lg(2,5) !!

Also muss man doch teilen und nicht - rechnen verwirrt

verwirrt

irgendwie konfus.

Also dann $\begin{eqnarray*} x=-2+lg2,5 \end{eqnarray*}$

?

21.09.2010, 17:34

Johnsen

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Nein, du hast so viel rechenregeln durcheinander geschmissen ^^

$\begin{eqnarray*} (x+2)lg2=lg5 |:lg2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+2=\frac{lg5}{lg2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{lg5}{lg2}-2 \end{eqnarray*}$

Da kann man nichts weiter dran machen!

denn das 2. log- Gesetz gilt für brüche INNERHALB des ln. Aber hier ist der Bruch ja außerhalb!!!

21.09.2010, 17:36

Cheftheoretiker

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Hm ok, wie meinst du das denn "denn das 2. log- Gesetz gilt für brüche INNERHALB des ln."

Vielleicht ein Beispiel, dann bin ich auch ruhig Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.09.2010, 17:38

Johnsen

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$\begin{eqnarray*} ln\left(\frac{a}{b}\right) = ln(a) -ln(b) \end{eqnarray*}$

Hier ist der Bruch im Argument des ln!!

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{3}{1}) = ln(3) -ln(1) = ln(3) \end{eqnarray*}$ , da ln(1) = 0 ok, das ist klar, da 3/1 = 3 ^^ aber das beispiel beinhaltet viel!

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{5}{2}) = ln(5) - ln(3) \end{eqnarray*}$

Hier ist ein bruch aus 2 log, aber der bruch ist ja nicht inerhalb des ln !! deshalb kein 2. log- Gesetz

21.09.2010, 17:43

Cheftheoretiker

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Achso, jetzt habe ich es.
Danke smile

smile

21.09.2010, 17:52

Cheftheoretiker

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RE: Exponentialgleichungen
So, nächste Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} 6^{x+4}+1=0 |-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6^{x+4}=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+4)lg6=lg-1 |:lg6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+4=\frac{lg-1}{lg6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{lg-1}{lg6}-4 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das es richtig ist...
edit: Hm, negative logarithmen gibt es wohl nicht. Nicht definierbar.

21.09.2010, 17:57

Cheftheoretiker

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RE: Exponentialgleichungen
Nächste Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} 5^{x+3}-3=0 |+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5^{x+3}=3 |log. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+3)lg5=lg3 |:lg5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+3=\frac{lg3}{lg5} |-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{lg3}{lg5}-3 \end{eqnarray*}$

richtig?

21.09.2010, 18:06

Johnsen

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richtig!

Freude

21.09.2010, 18:13

Cheftheoretiker

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Wie mache ich denn hier weiter. Die ausgangsaufgabe war.

$\begin{eqnarray*} 3^{2x+1}-4=0 \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt bei,

$\begin{eqnarray*} 2x=\frac{lg4}{lg3}-1 \end{eqnarray*}$

Wie mache ich nun weiter? verwirrt

verwirrt

21.09.2010, 18:14

Johnsen

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Wie wärs mit durch 2 teilen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.09.2010, 18:20

Cheftheoretiker

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ja aber wie?

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\frac{lg4}{lg3}-1}{2} \end{eqnarray*}$

Ja? verwirrt

verwirrt

21.09.2010, 18:22

Johnsen

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Klar, wie sonst! Freude

Freude

21.09.2010, 18:25

Cheftheoretiker

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In Meinen Lösungen steht das immer anders mit dem lg. Ich verstehe allerdings nicht wieso.

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}+\frac{log_34}{2} \end{eqnarray*}$

Wieso ist hier der log mit $\begin{eqnarray*} log_34 \end{eqnarray*}$ angegeben? verwirrt

verwirrt

21.09.2010, 18:32

Johnsen

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naja lg ist zur Basis 10, in deinen Lösungen ist es zur Basis 3.

es gilt ja die Regel:

$\begin{eqnarray*} log_c a = \frac{log_b a}{log_b c} & a \in \mathbb R^+, & b,c \in \mathbb R^+\backslash \{1\} \end{eqnarray*}$

Wenn du b und c entsprechend anpasst kommst du auf die gleichen ergebnisse zwischen deiner Rechnung und der Musterlösung!

21.09.2010, 18:34

Cheftheoretiker

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Wäre es denn falsch die Lösung so stehen zu lassen? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\frac{lg4}{lg3}-1}{2} \end{eqnarray*}$

21.09.2010, 18:36

Johnsen

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nein

21.09.2010, 18:53

Cheftheoretiker

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Wie mache ich es denn hier?

$\begin{eqnarray*} 2^{x+2}=3^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+2)lg2=x*lg3 \end{eqnarray*}$

und weiter? verwirrt

verwirrt

21.09.2010, 19:03

Johnsen

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links ausmultiplizieren, dann die rechte seite nach links, x ausklammern und nach x auflösen!

21.09.2010, 19:31

Cheftheoretiker

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So?

$\begin{eqnarray*} xlg2-xlg3+2lg2=0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

21.09.2010, 19:34

Johnsen

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weiter...

21.09.2010, 19:37

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} x(lg2-lg3)+2lg2=0 \end{eqnarray*}$

?

21.09.2010, 19:42

Johnsen

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kannst auch gerne mehr schritte machen.. nicht nach jeden fragen.

aber ja, es stimmt.

21.09.2010, 19:44

Cheftheoretiker

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Und wie soll ich nun das x isolieren? verwirrt

verwirrt

21.09.2010, 19:49

Johnsen

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Vorschläge deinerseits? Ist ja nicht mehr so schwer!

21.09.2010, 19:53

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} x=-\frac{2lg2}{lg2-lg3} \end{eqnarray*}$

?

21.09.2010, 19:55

Johnsen

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$\begin{eqnarray*} x=-\frac{2lg2}{lg2-lg3} \end{eqnarray*}$

ich denk du uhast dich vertippt! sonst würde 0 im Nenner stehen!

So stimmt es!

edit: Ok du hast es editiert

21.09.2010, 20:10

Cheftheoretiker

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Also darf man rechnerisch auch lg3-lg2 subtrahieren? das lg1 rauskommt?

In meinen Lösungen ist folgenden Ergebnis allerdings angegeben.

$\begin{eqnarray*} \frac{2lg2}{lg3-lg2} \end{eqnarray*}$

Ohne das Minus. verwirrt

verwirrt

21.09.2010, 20:14

Johnsen

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ja das ist mal wieder das gleiche ergebnis, denn es wurde einfach das minus in den Nenner gezogen, dann ändern sich die Vorzeichen!

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