Beweis der Ungleichung IIIe^AIII<e^IIIAIII

21.09.2010, 17:03	Physikantin	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Ungleichung IIIe^AIII<e^IIIAIII Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} \|\| . \|\| \end{eqnarray}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray} IK^{n} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} A \in M_{n} (IK) \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \|\|\| A \|\|\| \end{eqnarray}$ die zugehörige Operatornorm. Zeige: $\begin{eqnarray} \|\|\| e^{A} \|\|\| \leq e^{\|\|\| A \|\|\|} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Aufgabe sieht sehr kurz auf, aber ich kann leider nicht so viel mit der Aufgabe anfangen. Vielleicht weiß jemand weiter?
21.09.2010, 20:58	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, dass $\begin{eqnarray} e^A \end{eqnarray}$ über die Reihe definiert wurde und lasse den albernen dritten Strich weg. Seien $\begin{eqnarray} A,B \in M_{n} (\mathbb K). \end{eqnarray}$ 1. $\begin{eqnarray} \\| A+B \\| \leq \\|A\\|+ \\|B\\| \end{eqnarray}$ 2. Induktion liefert was? 3. Stetigkeit der Norm liefert was? 4. $\begin{eqnarray} \\| AB \\|\leq \\|A\\|\cdot\\|B\\| \end{eqnarray}$ 5. Induktion liefert was?

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