Folge mit Grenzwert = Eulersche Zahl

08.11.2006, 17:52

jaxxon

Folge mit Grenzwert = Eulersche Zahl

Nabend zusammen, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe :

Zeige, dass die Folge der Zahlen $\begin{eqnarray*} a_n=(1+\frac{1}{n})^n, n \in N, n \geq 1 \end{eqnarray*}$ ,monoton wächst und beschränkt ist. Also ist an konvergent.(Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl).

Also ich hab mich zunächst daran gemacht zu zeigen, dass die Folge mon. wächst aber da steck ich direkt am Anfang fest.

Behauptung : $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Beweis : $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n \leq (1+\frac{1}{n+1})^(n+1) \end{eqnarray*}$

tjo und weiter komm ich schon nicht unglücklich

Hoffe jmd hat ne Idee

08.11.2006, 18:04

Geistermeister

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Potenzgesetze anwenden!
Dividiere dann durch
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray*}$
und durch
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
bringe aber dabei die Brüche auf einen gemeisamen Nenner.
Nach dem Zusammenfassen musst du dabei denken, dass ein Term,
der potenziert wird, größer ist, als einer, der nicht potenziert ist.

08.11.2006, 18:15

jaxxon

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re
ups hatte ein fehler oben drin soll hoch n+1 heißen.

Komme leider immer nicht weiter

08.11.2006, 18:20

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Was Geistermeister etwas nebulös umschreibt, ist die Bernoullische Ungleichung

$\begin{eqnarray*} (1+a)^n \geq 1+na,\qquad a\geq -1,n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ,

damit klappt der Monotoniebeweis. Aber ich schlage vor, du bemühst mal die Boardsuche, das Thema war nämlich schon sehr, sehr oft hier vertreten. Ein passendes Stichwort ist z.B. "Eulersche Zahl".

08.11.2006, 18:24

jaxxon

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japp
japp hab ich auch gefunden ging über 7 seiten allerdings mit einem sehr schweren Rechenweg von Frooke

08.11.2006, 18:35

Mathespezialschüler

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Dann hast du wohl nicht gründlich genug gesucht. Augenzwinkern

Siehe hier oder hier.

Gruß MSS

08.11.2006, 19:16

jaxxon

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re
Sorry das ich nochmal poste aber ich hab noch ein kleines Prob

Zitat:

Dann haben ich den Hauptnenner gebildet

Klingt gut aber find ich furchtbar schwer bei der Gleichung.

Zitat:

Form das erstmal um:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}{\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}}=\frac{\frac{(n+1)^n}{n^n}}{\frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}}}=\frac{(n+1)^n}{n^n}\cdot \frac{(n-1)^{n-1}}{n^{n-1}}=\frac{(n+1)^n}{n^n}\cdot \frac{(n-1)^n}{n^n}\cdot \frac{n}{n-1}=\left(\frac{(n+1)(n-1)}{n^2}\right)^n\cdot \frac{n}{n-1} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man denn bitte auf den Anfang ?
Wurde etwa $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ irgendwie zu $\begin{eqnarray*} (\frac{n+1}{n})^n \end{eqnarray*}$

08.11.2006, 19:19

Mathespezialschüler

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Nein, da habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ vereinfacht.

Gruß MSS

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