Funktionenscharen in Sachzusammenhängen |
| 21.09.2010, 18:00 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktionenscharen in Sachzusammenhängen Ich komm nicht wirklich weiter 
Die Aufgabe: Legt man Metallleisten an ihren Enden auf zwei Schneiden A und B mit dem Abstand AB = a (in cm), so biegen sie durch. In einem Koordinatensystem gilt dann für die Durchbiegung da(x) = 1/1000 * ( -x^4 +2ax³ + a³ *x) mit x größer gleich null und kleiner gleich a. Wie groß ist die maximale Durchbiegung? Wie groß darf der Abstand a höchstens sein, damit die max. Durchbiegung nicht meht als 1mm beträgt? Meine Ideen: In der Schule haben wir eine ähnliche Aufgabe gerechnet und einfach die Ausgangsfunktion abgeleitet und dann die erste Ableitung gleich Null gesetzt etc. um die Extremstelle herauszufunden. Aber irgendwie weiß ich nicht genau weiter
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| 21.09.2010, 18:34 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mach es doch hier auch so! a ist ein Parameter und x die Variable nach der du ableitest! |
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| 21.09.2010, 18:36 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, also da'(x) = -4*x³ + 6ax² +a³ Aber wie komme ich weiter, wenn ich die gleich 0 setzte? Polynomdivision? aber da weiß ich ehrlich gesagt auch nicht weiter ^^ |
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| 21.09.2010, 18:40 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann es sein, dass in der Aufgabenstellung die Vorzeichen nicht stimmen? Denn so erhält man das Maximum (zumindest für gewisse Werte) am Rand, ziemlich unschöne Nullstellen der Ableitung und inhaltlich passt das auch nicht. |
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| 21.09.2010, 18:40 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um genau zu sein stimmt deine erste Ableitung nicht, denn wohin ist der Vorfaktor 1/1000 ? Wenn du 0 setzt, dann fällt er zwar werg, aber die erste Ableitung ist trotzdem mit dem vorfaktor! |
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| 21.09.2010, 18:51 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, also mit dem Vorzeichen hab ich mich verlesen. da(x) = 1/1000 * ( -x^4 + 2ax^3 - a^3x) Mit dem Vorfaktor, ich dachte weil das eine einfache Zahl ist und ich die Ableitung bilde, fällt sie jetzt schon weg... Oder muss ich erst die Klammer auflösen und dann ableiten / in der Klammer ableiten dann mal den Vorfaktor?? |
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| 21.09.2010, 19:11 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist es richtig wenn ich das einfach so stehen lasse: da'(x) = 1/1000 * (-4x³ +6ax² - a³) und wenn ich das gleich 0 setzte fällt der Vorfaktor weg. und dann polynomdivision oder so? |
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| 21.09.2010, 19:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, so ist der Weg richtig. Hinweis: Eine der Lösungen ist a/2 mY+ |
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| 21.09.2010, 19:47 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann ist als nächstes die polynomdivision dran: (-4x³ + 6ax² - a³) : ( x - 0,5x) = -4x² + 4ax +2a² (richtig?) dann habe ich mit den therm genommen und gleich null gesetzt um die anderen Nullstellen zu errechnen... -4x² + 4ax +2a² = 0 x² - ax - 0,5a² = 0 dann hab ich ganz komische sachen raus... x2 = a/2 + a/2*√3 x3 = a/2 - a/2*√3 eig. müsste ich die nullstellen mit der zweiten ableitung prüfen (also HOP oder TIP) also gucken für welches x ein hochpunkt rauskommt? (wegen maximaler biegung?) |
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| 21.09.2010, 19:48 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, hatte ein wutzelzeichen kopiert, wird aber nicht angezeigt es heißt wurzel 3 bei x2 und x3 |
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| 21.09.2010, 20:00 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die anderen Extremstellen sind und . Du solltest vor allem überprüfen, welche der Extremstellen überhaupt in liegen! |
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| 21.09.2010, 20:07 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht so ganz. Oder ein Schreibfehler. Denn der Divisor muss (x-a/2) lauten. Graph z.B. für a = 10: Die anderen Nullstellen sind richtig. mY+ |
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| 21.09.2010, 20:14 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
weil x größer/gleich null und kleiner/gleich a sein muss? weiß nicht genau wie ich das jetzt "anwenden" soll... denn wenn ich den vorfaktor-bruch da ausrechne ist das ja einmal 1,366 und der andere -0,366 und dann ist der erste ja größer als a, weil ich das ja noch mal a nehmen muss und das zweite ist kleiner als 0... zu der polynomdivision ^^ jap, war mein fehler, hab da 0,5*a stehen, nicht x |
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| 21.09.2010, 20:21 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau so ist es. Man geht davon aus, dass a positiv ist und daher ebenso die Stelle des Extremums. Daher scheidet die negative Stelle schon mal aus. Und größer als 1,0*a kann das Resultat auch nicht werden ... Was bleibt also übrig? mY+ |
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| 21.09.2010, 20:27 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, übrig bleib die "erratene" nullstelle von der polynomdivision. also setzte ich diese einfach in die 2. ableitung ein und und errechne dann den extrempunkt und dann eben auch die maximale biegung? |
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| 21.09.2010, 20:37 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da''(a/2) = 1/1000 * (-12 * (a/2)² + 12a * a/2) = 3/1000 * a² ? ist es normal, dass es ein Tiefpunkt ist? denn da''(a/2) ist ja immer positiv. |
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| 21.09.2010, 20:37 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Aber nicht auf die Beantwortung der letzten Frage vergessen! mY+ |
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| 21.09.2010, 20:39 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso, die 1mm. kann man das so lösen: 1mm = da(a/2) und dann nach a auflösen. |
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| 21.09.2010, 20:53 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Beachte erstens, dass mit dem Betrag von da(a/2) gerechnet werden muss und zweitens, dass es eine Ungleichung ist, die gelöst werden muss. Denke auch an die richtige Umsetzung der Einheiten (1mm = 0,1 cm) mY+ |
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| 21.09.2010, 21:02 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, okay, das ist einleuchtend. ist mein da(a/2) denn überhaupt richtig ausgerechnet? -3a^4/16000 |
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| 21.09.2010, 21:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Statt 3 habe ich etwas anderes ... mY+ |
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| 21.09.2010, 21:10 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm.. dann habe ich mich wohl verrechnet... da(a/2) = 1/1000 * (-(a/2)^4 +2a * (a/2)^3 - a^3 * (a/2)) = 1/1000 * ( (a^4)/16 + 2a * (a^3)/8 - a^3 * (a/2)) = 1/1000 * ( (a^4)/16 + (4a^4)/16 - (8a^4)/16)) = 1/1000 * (- (3a^4)/16) = -(3a^4)/16000 ich finde nur den fehler nicht 
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| 21.09.2010, 21:19 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorzeichenfehler beim zweiten Gleichheitszeichen. |
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| 21.09.2010, 21:21 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
- (a^4)/16? |
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| 21.09.2010, 21:35 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
edit: Ich glaube ich habe das falsch verstanden. Ja, an der Stelle muss ein Minuszeichen stehen. |
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| 21.09.2010, 21:38 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist denn wirklich? mY+ |
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| 21.09.2010, 21:39 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne, eigentlich nicht. War nur ne Frage. Weil ich danach, mit der "neuen" Zahl auch nicht weiter komme, wenn ich die Ungleichung lösen möchte. |
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| 21.09.2010, 21:45 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
erst dachte ich das das minus wegfällt, aber es ist doch dann -(a^4/2^4) wenn ich einen vorzeichenfehler hab... und dann hab ich für da(a/2)= - ((5a^4)/16000) raus |
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| 21.09.2010, 21:48 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So stimmt es nun. Was kriegst du nun für a? Denke daran, was ich dir über den Absolutbetrag gesagt habe ... mY+ |
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| 21.09.2010, 21:54 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe einfach die ungleichung nach a aufgelöst. reicht es wenn a kleiner;gleich (ca.) 4,229 ist. also a darf höchstens 4,229 sein, damit die maximale Durchbiegung nicht mehr als 1mm beträgt |
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| 21.09.2010, 21:59 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist in Ordnung so.
mY+ |
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| 21.09.2010, 22:00 | Wendetangente | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann bin ich wohl fertig für heute! Danke für die tolle Hilfe, sonst hätte ich schon früh aufgegeben! -DANKE AN ALLE-
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| 21.09.2010, 22:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
BITTE. Gern geschehen. mY+ |
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