Normalteiler einer Gruppe

21.09.2010, 18:10	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler einer Gruppe Meine Frage: Hallo, hocke grad an folgender Teilaufgabe: $\begin{eqnarray} \psi:G \rightarrow G \end{eqnarray}$ sei ein Gruppenhomomorphismus und $\begin{eqnarray} N* \end{eqnarray}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray} G* \end{eqnarray}$ Die Aufgabe besteht nun darin zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \psi^{-1}(N) \end{eqnarray}$ ebenfalls ein Normalteiler von G ist. Meine Ideen: Kann mir eigentlich nicht vorstellen, dass dies so sonderlich schwer zu zeigen ist, steh aber grad ziemlich aufm Schlauch. Ich habe bisher gezeigt, dass wenn $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist, dann auch $\begin{eqnarray} \psi^{-1}(H) \end{eqnarray}$ allgemein eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist. Durch die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} N* \end{eqnarray}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray} G* \end{eqnarray}$ ist, ist es dementsprechend ja auch eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G* \end{eqnarray}$ , wodurch wiederum $\begin{eqnarray} \psi^{-1}(N) \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist. Wie zeige ich aber jetzt, dass auch tatsächlich $\begin{eqnarray} gng^{-1} \in (N) \forall g \in G, \forall n \in N* \end{eqnarray*}$ gilt und damit die Bedingung an einen Normalteiler erfüllt ist? Oder sollte ich besser einen ganz anderen Ansatz zur Lösung wählen? Danke schonmal für Hilfe
21.09.2010, 18:26	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray} x\in\psi^{-1}(N^) \Rightarrow gxg^{-1}\in\psi^{-1}(N^) ~\forall g \in G \end{eqnarray}$ . Das geht ganz einfach mit Hilfe der Eigenschaft von $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ , Homomorphismus zu sein, und der Eigenschaft von $\begin{eqnarray} N^ \end{eqnarray}$ , normal in $\begin{eqnarray} G^* \end{eqnarray}$ zu sein. Untersuche einfach mal für so ein festes $\begin{eqnarray} x\in G \end{eqnarray}$ und beliebiges $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ , ob $\begin{eqnarray} gxg^{-1} \end{eqnarray}$ auch wieder in $\begin{eqnarray} \psi^{-1}(N^) \end{eqnarray}$ liegt.
21.09.2010, 18:46	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, müsste dann eigentlich so funktionieren: $\begin{eqnarray} x \in \psi^{-1}(N) => gxg^{-1} \in N* \end{eqnarray}$ denn $\begin{eqnarray} \psi(gxg^{-1}) = \psi(g)\psi(x)\psi(g^-1) = \psi(g)\psi(x)\psi(g)^{-1} \end{eqnarray}$ und aufgrund der Tatsache, dass $\begin{eqnarray} N* \end{eqnarray}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray} G* \end{eqnarray*}$ ist, folgt die Aussage. Richtig so?
21.09.2010, 18:50	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja, aber beachte, dass $\begin{eqnarray} gxg^{-1}\notin N^ \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} gxg^{-1}\in\psi^{-1}(N^) \end{eqnarray}$ .
22.09.2010, 18:27	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt! Hatte mich da verschrieben. Vielen Dank für deine Hilfe!

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