Eigenwerte, Eigenräume

22.09.2010, 09:41

Madame

Eigenwerte, Eigenräume

Meine Frage:

Hallo smile

ich habe eine Aufgabe, die mir Probleme bereitet. Vielleicht kann mir jemand von euch helfen.

Es sei V= R[X], und es sei $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (f)= Xf^1 für f $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V definierte Endomorphismus von V, wobei f^1 die formale Ableitung von f bedeutet, also

f^1 = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n ia_{i} x^{i-1} \end{eqnarray*}$ (Ableitung)

f= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n a_{i} x^{i} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß, wie man die Eigenwerte und Eigenräume einer Matrix bestimmt. Dafür berechne ich doch das charakteristische Polynom und setzt dieses gleich null. Hier habe ich ja schon eine Polynom gegeben, und müsste dieses ja nur noch gleich null setzten. Aber dabei erhalte ich doch keine exakten Werte oder doch?!

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Grüße
Madame

22.09.2010, 10:12

Bazza

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hallo,

zuerst eine frage:
ist es richtig, dass deine funktion so definiert ist?

$\begin{eqnarray*} \phi(f)=xf' \end{eqnarray*}$

zunächst musst du dir überlegen, dass dein vektorraum natürlich eine basis besitzt. da du hier im polynomring bist, müsstest du schon wissen, wie diese basis aussieht.

wenn du die basis gefunden hast, musst du nur noch die abbildungsmatrix aufstellen, und kannst dann genau das anwenden, was du schon kannst:

Zitat:

Ich weiß, wie man die Eigenwerte und Eigenräume einer Matrix bestimmt. Dafür berechne ich doch das charakteristische Polynom und setzt dieses gleich null.

22.09.2010, 11:19

Madame

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hallo

ach, jetzt sehe ich, was ich machen muss smile

vielen dank

22.09.2010, 12:02

Madame

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Ich habe mich nochmal an die Aufgabe rangesetzt.
Da ich im Polynomring bin, denke ich ,dass die Basis wie folgt lautet:

B= $\begin{eqnarray*} \left\{ 1, x, x^2, x^3,..., x^n\right\} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die einzelnen Elemente in die Basis einsetzte, dann erhalte ich mit der Funktion (die du nochmal richtig hingeschreiben hast)

$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (1) = 0
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (x) = x
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (x^2) = 2x^2
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (x^3) = 3x^3

$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (x^n)= nx^n

Dann erhalte ich folgende Abbildungsmatrix

M= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0...0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0...0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0...0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0...0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...wie ich weiter machen muss, ist mir klar. Habe ich soweit richtig gerechnet?

Lieben Gruß
Madame

Dann erhalte ich das charakteristische Polynom

$\begin{eqnarray*} X_{A} \end{eqnarray*}$ = X(X-1)(X-2)(X-3).....(X-n)

22.09.2010, 12:12

Bazza

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alles richtig soweit smile

22.09.2010, 13:35

Madame

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ui toll

dann krieg ich den rest auch noch hin.
Vielen Dank, Bazza.

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