Ring der ganzen Zahlen

22.09.2010, 10:40	Jan3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ring der ganzen Zahlen Hallo, ich habe nur eine kleine Frage: Sind $\begin{eqnarray} \mathbb Z [x]/(x^2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ isomorph als $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ -Moduln? Ich denke ja, denn 0 ist eine Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ und wenn man 0 zum Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ hinzufügt, ändert sich nichts. DANKE im Voraus! Jan
22.09.2010, 16:28	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke eher $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[X]/(X^2)\cong \mathbb{Z}^{2\times 1} \end{eqnarray}$ (oder je nach Bezeichnung auch $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}^2,\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ). Untersuche mal die Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi ~:~ \mathbb{Z}[X]/(X^2)\to\mathbb{Z}^{2\times 1},~ a+bX+(X^2)\mapsto (a,b) \end{eqnarray}$ , ob sie vielleicht ein $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ -Modulisomorphismus ist.

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