Abstand Punkt zur Ebene |
| 22.09.2010, 14:48 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Abstand Punkt zur Ebene Es sei E = {x aus R³ und x1 = x3 } und P = (1; 1; 0) ein Punkt au¼erhalb der Ebene E. Bestimmen Sie den Punkt in E, der von P den kürzesten Abstand d hat und bestimmen Sie d. Meine Ideen: Da der kürzeste Abstand gesucht ist, muss ich hier wohl mit dem Lotfußpunkt arbeiten oder? Oder mit der Hessschen Normalenform? Aber wie genau stelle ich das an, denn ich weiß nicht wie die Ebenengleichung hier aussieht... |
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| 22.09.2010, 16:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abstand Punkt zur Ebene
Die HNF liefert nur den Abstand, diesen zwar schnell, aber für den Lotfußpunkt musst du dann doch die Gleichung der Normalen bemühen. Die Ebene E hat lt. Angabe die Gleichung und das heisst vektoriell mY+ |
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| 22.09.2010, 18:36 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Abstand Punkt zur Ebene Okay, ich bin jetzt wie folgt vorgegangen: Ich habe aus der Koordinatenform die Parameterform erstellt. Die habe ich wie folgt: E: (-1/0/-1) + s (1/0/-1) + t (1/1/1) Der Stützvektor a muss ja mit dem Normalenvektor (1/0-1) multipliziert = 0 sein, richtig? Die beiden Ortsvektoren müssen ebenfalls mit dem Normalenvektor multiplizierzt= 0 sein. Könnten dann auch die Vektoren a, u und v jeweils ein Vielfaches voneinander sein? Nunja, dann habe ich das Gleichungssystem nach Schema/Formel gelöst und s und t ermittelt. Die dann in meine Lotpunktsformel l=a + s*u + t*v eingesetzt. (Wobei hier a, u und v Vektoren sein sollen!) Das anschließende Ergebnis (ein Vektor) habe ich von dem Vektor des Puntes P abgezogen und anschließend die Norm gebildet und einen konkreten Wert erhalten. Ist das soweit richtig gelöst? |
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| 22.09.2010, 19:40 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Abstand Punkt zur Ebene ?? Ich könnte das doch ebenso über die Normalengleichung lösen oder? Sprich E: (x - u) * n (Jeweils alles Vektoren) In meinem Beispiel ist der Normalenvektor ja (1/0-1). Dann wäre der Vektor u doch nur derjenige Vektor, der mit n multipliziert, der die Zahl rechts vom Gleichzeichen ergibt (Salopp gesprochen). Das wäre ja bei mir die Zahl 0 und ich hätte als Vektor beispielsweise u= (-1/1/-1). Ist das soweit korrekt? Und für x setze ich ja dann die Geradengleichung ein, die in diesem Fall aus dem Vektor des Punktes P besteht (1/1/0) und dem Ortsvektor und dem Normalenvektor besteht, sprich G: (1/1/0) + r (1/0/-1). Dann löse ich nach r auf und setze es wieder in die Gleichung ein und erhalte somit den Fußpunkt, den ich ja dann von den Koordinaten des Punktes P abziehe und anschließend den Betrag errechne?!? |
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| 22.09.2010, 20:43 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der zweite Weg ist entschieden vorzuziehen, den ersten vergiss gleich wieder. Setze also X = (1/1/0) + r (1/0/-1) anstatt X in die Koordinatenform der Ebene ein und löse nach r auf. mY+ |
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| 22.09.2010, 20:53 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Heißt das also: ((1/1/0) + r(1/0/-1)) * (1/0/-1) nach r auflösen Dann r in Geradengleichung -> Fußlotpunkt? Tut mir leid aber ich steh da gerade ein wenig auf dem Schlauch... Wieso in die Koordinatengleichung statt Normalengleichung? |
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| 22.09.2010, 21:41 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Koordinatengleichung IST auch gleich die Normalvektorgleichnung. mY+ |
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| 22.09.2010, 22:35 | kitterich | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja besten Dank!! Ich habs rausbekommen :-) 0,701.... |
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| 22.09.2010, 22:38 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, der Abstand ist . Der Fusspunkt fehlt aber noch ... mY+ |
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