Bidualraum

22.09.2010, 13:51	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Bidualraum Hallo. Ich habe den Bidualraum noch nicht ganz verstanden und hoffe, jemand kann mir helfen... Also, sei X normierter Raum, X' der topologische Dualraum, also $\begin{eqnarray} X'=L(X,\mathbb{K}) \end{eqnarray}$ , also alle lineare stetige Funktionen von X nach $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ . Ich denke der Bidualraum X'' ist dann $\begin{eqnarray} X''=(X')'=L(X,\mathbb{K})'=L(L(X,\mathbb{K}),\mathbb{K}) \end{eqnarray}$ , oder?, also X'' ist die Menge aller linearen stetigen Abbildungen, die eine lineare stetige Abbildung auf ein Körperelement abbilden. oder? Wir haben die kanonische Einbettung definiert als die Abbildung $\begin{eqnarray} X \to X'', x \mapsto \tilde{x} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \tilde{x}(\lambda)=\lambda (x) , \lambda \in X' \end{eqnarray}$ . Anscheinend kann man X als Teilmenge von X'' auffassen. Was ich nicht verstehe: Ich nehme also ein $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ und bilde dieses durch die o.g. Abbildung ab und erhalte $\begin{eqnarray} \tilde{x} \in X'' \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} \tilde{x} \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung. Diese wird durch $\begin{eqnarray} \tilde{x} (\lambda)=\lambda (x) \end{eqnarray}$ genau definiert. Allerdings nehme ich ja alle möglichen $\begin{eqnarray} \lambda \in X' \end{eqnarray}$ und werte diese an der Stelle x aus. Was kriege ich dann raus? Ich muss das ja irgendwie mit einem Element in X identifizieren können, oder? Über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar, lg frieder
22.09.2010, 15:11	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde bei der Notation auch nichts mehr verstehen... Ich möchte zunächst der kanonischen Einebettung einen Namen geben: $\begin{eqnarray} J: X \to X'', x \mapsto [x'\mapsto x'(x)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ nimmt ein $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ und bildet es auf eine Abbildung ab. Also ist $\begin{eqnarray} J(x)=[x'\mapsto x'(x)]\in L(X',\mathbb{K}) \end{eqnarray}$ . Oder anders geschrieben: $\begin{eqnarray} J(x)(x')=x'(x) \end{eqnarray}$ Das Bild $\begin{eqnarray} J(X) \end{eqnarray}$ ist klarerweise eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} X'' \end{eqnarray}$ . Identifiziert man nun $\begin{eqnarray} J(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , so ist das eine Einbettung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} X'' \end{eqnarray}$ .

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