Parameterabhängiges Integral

22.09.2010, 16:42	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterabhängiges Integral Hallo miteinander, Aufgabe 1: Edit (mY+): Aus Gründen der Übersichtlichkeit hänge bitte statt eines externen Links zum ganzen PDF lieber einen relevanten Ausschnitt des Aufgabenblattes an. Zum Vergrößern auf die Bildvorschau klicken. [attach]16073[/attach] Wenn ich jetzt also $\begin{eqnarray} \frac{d}{dr} \end{eqnarray}$ drauf anwende, erhalte ich: $\begin{eqnarray} \int_0^\pi \! \frac{2r-2\cos(x)}{1-2r\cos(x)+r^2} \, dx \end{eqnarray}$ Wie kann ich jetzt weitermachen? Bringt diese spezielle Substitution $\begin{eqnarray} z=\tan\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray}$ etwas?
22.09.2010, 20:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Glaube ich nicht, dass in dieser Richtung etwas geht. Leider weiss ich auch nicht, was die Ableitung nach dem Parameter eigentlich bringen soll. Ich habe das Ganze mal in DERIVE eingegeben, dort wird es nur partiell aufgelöst, das Restintegral kann es nicht ermitteln. Zum Schluss noch in WolframAlpha versucht: int log(1 - 2rCOS(x) + r^2) dx from x=0 to pi ebenfalls ohne Ergebnis, auch nach Erweiterung der Rechenzeit. mY+
22.09.2010, 20:34	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind ja gute Neuigkeiten Dieser Professor hat sie einfach nicht mehr alle.
22.09.2010, 21:00	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe folgende Stammfunktion anzubieten... [attach]16079[/attach] edit: Klammer vergessen...
22.09.2010, 21:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Na super! Wie kommt man denn da drauf? mY+
22.09.2010, 22:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du komplexe Integrationstheorie beherrscht, kannst du einfach $\begin{eqnarray} \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z} \end{eqnarray}$ über den Halbkreis $\begin{eqnarray} \gamma: \ z = 1 - r \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \, , \ \ 0 \leq t \leq \pi \end{eqnarray}$ berechnen. Mit der Parametrisierung findest du einerseits $\begin{eqnarray} \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z} = r \int_0^{\pi} \frac{\sin t}{r^2 - 2r \cos t + 1}~\dd t + \operatorname{i} r \int_0^{\pi} \frac{r - \cos t}{r^2 - 2r \cos t + 1}~\dd t \end{eqnarray}$ Andererseits kannst du das Kurvenintegral mit einer Stammfunktion ermitteln: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z} = \ln(1+r) - \ln(1-r) \end{eqnarray}$ Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil findet man (den Fall $\begin{eqnarray} r=0 \end{eqnarray}$ kann man jeweils direkt berechnen): $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi} \frac{\sin t}{r^2 - 2r \cos t + 1}~\dd t = \begin{cases} 2 & \mbox{für} \ r=0 \\ \frac{1}{r} \ln \frac{1+r}{1-r} & \mbox{für} \ 0 < \|r\| < 1 \end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi} \frac{r - \cos t}{r^2 - 2r \cos t + 1}~\dd t = 0 \ \ \mbox{für} \ \|r\| < 1 \end{eqnarray}$ Das erste Integral ist ein ganz hübsches "Abfallprodukt", und das zweite zeigt: $\begin{eqnarray} f'(r) = 0 \, , \ \ \|r\| < 1 \end{eqnarray}$
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