komplexe Zahlen - Imaginär- und Realteil bestimmen

22.09.2010, 17:47

huefte

komplexe Zahlen - Imaginär- und Realteil bestimmen

Hallo zusammen,

ich habe ein Problem bei einer Aufgabe zu komplexen Zahlen und benötige eure Hilfe, sodass ich die Aufgabe mit Tipps lösen kann.

Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahl: $\begin{eqnarray*} \frac{\left( 1 + i \right) ^{6}}{\left( 1 - i \right) ^{3}} \end{eqnarray*}$

Um die Anteile zu bestimmen muss ich die Zahl in die Form $\begin{eqnarray*} a + bi \end{eqnarray*}$ bringen. Wie stelle ich das an?

Hier ein anderes Beispiel aus der Vorlesung:
Die Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{\left( 7 + 3i \right)}{\left( 1 - 2i \right)} \end{eqnarray*}$ lässt sich durch Erweitern mit $\begin{eqnarray*} 1 + 2i \end{eqnarray*}$ , anschließendem Ausmultiplizieren auf die gewünschte Form - Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} + \frac{17}{5}i \end{eqnarray*}$ - bringen.

Wegen der Potenzen ist das hier ne ziemliche Mörderarbeit. Das muss ja irgendwie einfacher gehen. Hilft da der Satz von Moivre was?

Wäre schön, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte!
Beste Grüße,
Pascal

22.09.2010, 18:23

org

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RE: komplexe Zahlen - Imaginär- und Realteil bestimmen

Zitat:

Original von huefte
Wegen der Potenzen ist das hier ne ziemliche Mörderarbeit. Das muss ja irgendwie einfacher gehen. Hilft da der

Tipp: mit (1+i)^3 erweitern und dann nochmal deinen Link genau anschauen.

23.09.2010, 10:37

huefte

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Oh nein, das hätt ich ja selbst sehen können! Danke org!!!

Als Ergebnis habe ich $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ raus, was der Realanteil ist. Der Imaginäranteil ist 0. Kann das Ergebnis jemand bestätigen?

23.09.2010, 10:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von huefte
Als Ergebnis habe ich $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ raus, was der Realanteil ist. Der Imaginäranteil ist 0. Kann das Ergebnis jemand bestätigen?

Weder Real- noch Imaginäranteil sind richtig.

Zitat:

Original von org
Tipp: mit (1+i)^3 erweitern

Das ist in meinen Augen unnötige Arbeit.

23.09.2010, 11:37

huefte

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Ich hab meinen Fehler in der ersten Lösung gefunden.

Erweitere ich den Ausgangsbruch mit $\begin{eqnarray*} \left(1 + i\right)^{3} \end{eqnarray*}$ sieht mein Bruch im nächsten Schritt so aus: $\begin{eqnarray*} \frac{\left(1 + i\right)^{9}}{\left(1 - i\right)^{3}\left(1 + i\right)^{3}} \end{eqnarray*}$

Der Nenner lässt sich mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} z\bar z = |z|^{2} \end{eqnarray*}$ in 2 umwandeln. Wende ich im Zähler den Satz von Moivre an, erhalte ich dort $\begin{eqnarray*} 16\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Als Endergebnis erhalte ich dann $\begin{eqnarray*} 8\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Aber das ist scheinbar auch falsch, da sich am Ergebnis der Imaginärteils nichts geändert hat.

Zitat:

Das ist in meinen Augen unnötige Arbeit.

Wie geht es denn einfacher?

23.09.2010, 11:42

klarsoweit

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RE: komplexe Zahlen - Imaginär- und Realteil bestimmen
Einfach im Ausgangsterm Zähler und Nenner mit dem Satz von Moivre umformen und dann etwas Potenzrechnung.

23.09.2010, 12:01

wisili

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RE: komplexe Zahlen - Imaginär- und Realteil bestimmen
Die Polarform wäre effizient.

23.09.2010, 12:32

huefte

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RE: komplexe Zahlen - Imaginär- und Realteil bestimmen
Das leuchtet ein. Diesen Weg hatte ich anfangs auch eingeschlagen.
Meine ersten Schritte waren dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left ( 1 + i \right )^{6}}{\left ( 1 - i \right )^{3}} = \frac{\sqrt{2}^{6} \left ( \cos\left ( 1,5 \pi \right ) + i\cdot \sin\left ( 1,5 \pi \right ) \right )}{\sqrt{2}^{3} \left ( \cos\left ( -0,75 \pi \right ) + i\cdot \sin\left ( -0,75 \pi \right ) \right )} = \frac{\sqrt{2}^{6} \left ( 0 + i \cdot \left ( -1 \right )\right )}{\sqrt{2}^{3} \left ( 0,71 + i \cdot 0,71\right )} = ... \end{eqnarray*}$

Und hierbei haben mich die Sinus- und Cosinuswerte im Nenner verwirrt.

Den Winkel des Nenners muss man ja so berechnen, da der Imaginärteil -1 ist:

$\begin{eqnarray*} \alpha = - \arccos{\frac{a}{b}} \end{eqnarray*}$

im Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \alpha = - \arccos{\frac{1}{\sqrt{2}}} = - \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

23.09.2010, 12:59

klarsoweit

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RE: komplexe Zahlen - Imaginär- und Realteil bestimmen

Zitat:

Original von huefte
Und hierbei haben mich die Sinus- und Cosinuswerte im Nenner verwirrt.

Die vom Nenner hast du falsch ausgerechnet. Im übrigen meinte ich natürtlich auch die Polarformdarstellung sowie die Formel für das Potenzieren komplexer Zahlen, wie sie auf dem zitierten Link dargestellt ist, also für

$\begin{eqnarray*} z = |z| \cdot e^{i \cdot \phi} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} z^n = |z|^n \cdot e^{i \cdot n \cdot \phi} \end{eqnarray*}$

23.09.2010, 13:28

huefte

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Die Umwandlung in die Polarkoordinatendarstellung hab ich ja so gemacht.

Ich hatte mich verschrieben. Die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sollte so funktionieren:

$\begin{eqnarray*} \alpha = - \arccos{\frac{a}{r}} \end{eqnarray*}$

Somit erhalte ich, wie oben schon geschrieben als $\begin{eqnarray*} \alpha = -\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .
Wende ich die Regel von Moivre im Nenner an, steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac{...}{\sqrt2 ^ {3} \left ( \cos \left ( 3 \cdot - \frac{\pi}{4} \right ) + i \cdot sin \left ( 3 \cdot - \frac{\pi}{4} \right )\right )} \end{eqnarray*}$

Stimmt mein Wert für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht oder der Term nach Moivre?

23.09.2010, 13:37

klarsoweit

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RE: komplexe Zahlen - Imaginär- und Realteil bestimmen
Ich meine ausschließlich diese Darstellung:

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} z = |z| \cdot e^{i \cdot \phi} \end{eqnarray*}$

Da brauchst du mit cos und sin gar nicht rumrechnen.

23.09.2010, 14:12

huefte

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So langsam werd ich bekloppt Augenzwinkern

An der Stelle: danke für die Geduld. Gott

Auf ein neues...

Nach dem ersten Schritt sieht mein Term (unvereinfacht) so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}^6 \cdot e^{ \frac{6}{4} \cdot \pi \cdot i}}{\sqrt{2}^3 \cdot e^{ \frac{3}{4} \cdot \pi \cdot i}} \end{eqnarray*}$

Soweit korrekt, oder?

Dann wende ich Potenzgesetze an und erhalte

$\begin{eqnarray*} \frac{\left( \sqrt{2} \cdot e^{ \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot i}\right)^{6}}{\left( \sqrt{2} \cdot e^{ \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot i} \right) ^{3} } \end{eqnarray*}$

was sich in

$\begin{eqnarray*} {\left( \sqrt{2} \cdot e^{ \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot i} \right) ^{3} } = {\sqrt{2} ^{3} \cdot e^{ \frac{3}{4} \cdot \pi \cdot i}} \end{eqnarray*}$

umformen lässt.

23.09.2010, 14:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von huefte
Nach dem ersten Schritt sieht mein Term (unvereinfacht) so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}^6 \cdot e^{ \frac{6}{4} \cdot \pi \cdot i}}{\sqrt{2}^3 \cdot e^{ \frac{3}{4} \cdot \pi \cdot i}} \end{eqnarray*}$

Soweit korrekt, oder?

Nein. Richtig ist $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}^6 \cdot e^{ \frac{6}{4} \cdot \pi \cdot i}}{\sqrt{2}^3 \cdot e^{ - \frac{3}{4} \cdot \pi \cdot i}} \end{eqnarray*}$

24.09.2010, 15:51

huefte

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Hi,

sorry für die Verspätung, hier gab es noch andere Dinge zu tun als Mathe.

Das war dann wohl ein klassischer Struddelfehler, der egtl nicht passieren sollte.
Den Term kann man ja gut vereinfachen und muss dann nur noch die Anteile rauslesen.

Danke für die Hilfe!!!

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