Normalenform und Orthogonalität

22.09.2010, 18:43

Nikky

Normalenform und Orthogonalität

Meine Frage:
Hallo!
Also ich hab eine Ebene gegeben, die durch
e= (3/2/0) + ? (4/1/-1) + u (3/2/-5)

Dazu soll ich die Ortogonalität zu den Spannvektoren bestimmen, sowie alles in die Normalenform umschreiben.

Meine Ideen:
Ich versuche also erst die Ortogonalität rauszukriegen.

dazu setzt ich die beiden Spannvektoren gleich null und bereche dann das Skalar dann komm ich auf (4/1/-1) * (n1/n2/n3) = 4n1 + n2 - n3
und (3/2/-5) * (ny/n2/n3) = 3n1 + 2n2 - 5n3
Wenn ich dann n3 = 2 setzte bekomme ich Ortsvektor n = (6/5 / 3/4/3 / 2)
stimmt das so weit??

und das müsste ich dann in die Normalenform einsetzten X x n = Xo x n
also hätte ich dann X x (6/5 / 3/4/3 / 2) = (3/2/0) x (6/5 / 3/4/3 / 2)
oder??

aber wie komm ich auf n1x + n2y + n3z = d
oder ax + by + cz = d
???

Hoffe auf Hilfe..

Nikky

22.09.2010, 21:24

mYthos

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Nein, dein Normalvektor n ist falsch berechnet, obgleich der Rechenweg in Ordnung ist.
Du solltest nach deiner Rechnung n = (-6/5; 34/5; 2) erhalten.
Beachte, dass du - zur leichteren Rechnung - den Normalvektor entsprechend verlängern kannst, also zu (-3; 17; 5).
_______________

Wenn nun dieser Normalvektor richtig vorliegt (n1, n2, n3 sind nun bekannt), dann hast du von der Koordinatenform (Normalvektorform) der Ebenengleichung nur noch die Konstante d zu berechnen. Das geht nun ganz leicht, indem du einfach einen Punkt der Ebene in diese Gleichung einsetzt und damit d ermittelst. Für den Punkt nimm den gegebenen Punkt (3; 2; 0).

mY+

23.09.2010, 13:32

Nikky

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Vielen lieben Dank!!
Du hast mir sehr geholfen!! Freude

Liebe Grüße
Cindy

21.10.2010, 17:00

aleph_math

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RE: Normalenform und Orthogonalität

Zitat:

Original von Nikky
Also ich hab eine Ebene gegeben (..) durch e= (3/2/0) + v (4/1/-1) + u (3/2/-5)

Dazu soll ich die Ort[h]ogonalität zu den Spannvektoren bestimmen, sowie alles in die Normalenform umschreiben.

Unsaubere Darstellung! Nicht "e=" sond. "e: x= ..." Und auch nicht "sowie" (das impliziert getrennte Aufg.), sond. "mit dem orthog. Vektor die Normalform bestimmen..."

Die Idee stimmt schon, aber richtige (exakte) Formul. hilft im allgem. sehr bei der Lösg.; vor allem einem Helfer, der dann nicht erst stud. muss, was überhpt. gemeint ist. NiFU! Augenzwinkern

Zitat:

... dazu setz ich die beiden Spannvektoren gleich null und bereche dann das Skalar[prod.!], ...

Hier gilt das Gleiche: 1) ein Skalar ist das Ergebnis des Skalarprod. zweier Vekt., das sind 2 Paar Schuhe...
2) Es werden nicht die Spannvek. Null gesetzt (was soll man dann noch rechnen??), sond. deren Skalarprod., also: $\begin{eqnarray*} \vec u_1\cdot\vec u_2 =0 \end{eqnarray*}$ ! Bitte exakt formul.!

Zitat:

..dann komm ich auf (4/1/-1) * (n1/n2/n3) = 4n1 + n2 - n3 [=0 nicht vergessen!] und (3/2/-5) * (n1/n2/n3) = 3n1 + 2n2 - 5n3 [=0 nicht vergessen!].
Wenn ich dann n3 = 2 setz, bekomme ich Ortsvektor n = (6/5 / 3/4/3 / 2);
stimmt das so weit??

Wieso 2? Wie ich in einem and. Beitrag sagte, der einfachste Normalvekt. zu (v1,v2,v3) ist (-v2,v1,0); das entspricht genau der Bedingg. $\begin{eqnarray*} \vec v\cdot\vec n =0 \end{eqnarray*}$ f.d. Orthogonalität!

Habt ihr schon "Vektor- o. Kreuzprodukt"? Dann nämlich wäre $\begin{eqnarray*} \vec n =\vec u_1\times\vec u_2 \end{eqnarray*}$ eleganter. Da kommen zwar Determinanten vor, aber eine 2x2-Det. ist nicht schwer.

Die Norm.form der Ebene erhält man dann (wieder) aus einem Skalarprod., nämlich: $\begin{eqnarray*} (\vec x -\vec a)\cdot\vec n =0; \vec a \end{eqnarray*}$ ist der Ortsvekt. des Fixpkt., also (3/2/0).

Zitat:

aber wie komm ich auf [das d in] n1x + n2y + n3z = d oder ax + by + cz = d ???

Das ergibt sich aus $\begin{eqnarray*} \vec a\cdot\vec n \end{eqnarray*}$ ...

Viel Erfolg, viell. sogar Spass mit Mathe! Wink

21.10.2010, 17:55

mYthos

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@aleph_math

Dir ist schon aufgefallen, dass der letzte Post schon 1 Monat zurückliegt?
Ob Cindy da noch reinsieht?

mY+

21.10.2010, 19:58

aleph_math

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RE: Normalenform und Orthogonalität
@mythos: Ooh, muss gestehen, das übersehen zu haben... Bei meiner Auflösg. seh' ich ohne Navig. nur den eigtl. Beitrag, nicht aber Autor u. Datum. unglücklich

Da komm' ich gleich auf organis. Wünsche: Von anderen Foren kenn' ich eine Benachricht.funkt., wenn neue Beiträge einlaufen. Hier hab' ich das noch(?) nicht gesehen; auf diese Weise muss ich jedesm. das ganze Forum durchsuchen, um Antw. zu finden.
Genauso vermiss ich eine Baumdarstell.; ich antw. nicht jedesm. auf die ursprüng. Frage, sond. oft auch auf and. Beiträge im Thread. Dann ist es nicht grad förderlich, wenn die Antw. auf einen Beitrag 5+ Beiträge o. gar 1 Seite weiter steht. unglücklich

Ander. Mangel ist das time-out bzw. die dann nötige Neuanmeldg. Meine Beiträge sind ja (leider?) oft reichlich länglich u. brauchen desh. 1h u. länger zum Verfassen, da ist's mir schon passiert, dass währendd. die Verbindung abreisst (Fehler: "Sie haben einen falschen Verweis gesendet. ... verständigen Sie den Admin!" o.ä.). Abgesehen davon, dass die neuerliche Anmeld. lästig ist, sie führt vorallem nicht zum lf. Beitrag zurück böse

! Also auch da Suchen & Neuanfang! Ich hab' mir desh. angewöhnt, den off. Beitrag mit ^C zu speichern, um im Fall der Neu-Bearb. einfach kop. zu können. Ist aber alles lästig.

Und noch 'was: wäre nicht ein 1:1 Chat besser als die isol. Beiträge?

Zuletzt: was hält ein Landsmann & Alterskoll. von meinen Abk.?

Danke & kolleg. Grüsse aus Wien Wink

21.10.2010, 23:35

Nikky

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Ich guck noch rein, dank Meldefunktion für neue Beiträge Augenzwinkern

Werde mir deine Tipps und Verbesserungen zu Herzen nehmen.
Kann aber für nichts garantieren...

Grüße
Cindy

22.10.2010, 01:52

mYthos

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Ich finde die Abkürzungen im Text nicht so praktisch. Die Ersparnis an Platz und Zeit beim Auslassen verhältnismäßig weniger Buchstaben ist gering und steht in keinem Verhältnis zu einem sauber, vollständig und leserlich geschriebenen Text.
_____________

Auch einen 1:1 - Chat innerhalb des Forums halte ich für kontraproduktiv. Feststehende Beiträge bzw. Threads haben naturgemäß eine weit höhere Qualität und können archiviert werden, sodass sie auch für spätere Recherchen zur Verfügung stehen. Kurzlebige Chats hingegen erheben weniger Anspruch und verlieren schnell ihren Wert, weil sie nur von Interesse sind, solange sie aktuell sind.
Es hindert dich jedoch niemand daran, dich z.B. über IRC mit mathematischen Channels zu verbinden und dort zu diskutieren bzw. Hilfe zu geben. Es hat einmal (und gibt es vielleicht auch noch heute) im IRC einen Kanal gegeben, in welchem sich die Matheboard-Teilnehmer getroffen haben. Das ist schon einige Zeit her, ich weiss nicht, ob dies auch heute noch aktuell ist.
_______________

Normalerweise bleibt man auch bei Verbindungsabbruch angemeldet. Zumindest bei mir ist das so. Wenn ich wieder online gehe, erscheine ich nach wie vor im Board angemeldet.
Vielleicht liest hier die Administration mit und kann dir weiterführende Tipps geben.

Grüsse - ebenfalls aus der Nähe von Wien -
mYthos
+

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