Raumwinkel eines Parabolspiegels

22.09.2010, 19:28	Fleckenteufel	Auf diesen Beitrag antworten »
Raumwinkel eines Parabolspiegels Meine Frage: Hallo, ich möchte den Raumwinkel berechnen, den ein Parabolspiegel mit beliebiger Form abdeckt. Die Beschreibung des Parabolspiegels ist besonders einfach in Zylinderkoordinaten: $\begin{eqnarray} z(r)=ar^2+b \end{eqnarray}$ Die Form des Spiegels (ein Off-Axis Spiegel) kann man beschreiben durch $\begin{eqnarray} R^2 \geq (x-x_0)^2+y^2 \end{eqnarray}$ Die Frage ist nun wie Groß der Raumwinkel ausgehend von dem Koordinatenursprung ist. Meine Ideen: Idee ist den Spiegel in Kugelkoordinaten zu transformieren und dann diese Formel zu nutzen, die ich bei Wikipedia gefunden habe: $\begin{eqnarray} \Omega = \iint \cos \gamma d\gamma d\phi \end{eqnarray}$ Diese Transformation bekomme ich aber nicht hin. Vielleicht geht es auch andersrum ... die obige Formel in Zylinderkoordinaten zu transformieren. Wäre dankbar für Hilfe
24.09.2010, 09:55	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Anschaulich ist ein Raumwinkel folgendes: Im Zentrum einer geschlossenenen Kugelfläche mit dem Radius R=1 sitzt ein Astronom. Um die Sterne beobachten zu können, schneidet er aus der Kugelfläche ein Fester aus. Der Flächeninhalt dieses Fensters ist der "Raumwinkel". Auf die Form des Fensters kommt es hier nicht an. Da die Fläche der Einheitskugel gerade A=4pi beträgt, ist 4pi der maximale Wert des Raumwinkels (=Vollwinkel). Nun stell' dir vor, dein Paraboloid befindet sich im Zentrum der Kugelfläche. Dieser Parabboloid sei so klein, dass man seine Ausdehnung im Vergleich zur Kugelfläche vernachlässigen kann. Von jedem Punkt des Paraboloides geht ein zur Paraboilidfläche senkrechter Lichtstrahl aus. Diese Lichtstrahlen "beleuchten" einen gewissen Teil der Innenfläche der Kugel. Der gesuchte Raumwinkel ist gerade diese beleuchtete Fläche. Dein Paraboloid hat die Gleichung z=a(x²+y²). Den Summanden +b lasse ich weg, da er nur die Lage des Parabolides beeinflusst, aber nicht dessen Form und damit auch nicht den Raumwinkel. Vom Punkt (x\|y\|z)=(0\|0\|0) des Paraboides geht der senkrechte Strahl genau durch den Nordpol (0\|0\|1) der Einheitskugel. Alle anderen Strahlen sind "schief" dazu und haben einen gewissen Winkel $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ , welcher nichts anderes ist, als der Winkel zwischen dem Normalvektor N des jeweiligen Paraboloidpunktes und dem genannten Vektor (0\|0\|1), also $\begin{eqnarray} cos(\theta)=\vec N\cdot (0\|0\|1) \end{eqnarray}$ Man macht sich schnell klar, dass der gesuchte Raumwinkel gerade lautet (Siehe auch WIKIPEDIA) $\begin{eqnarray} \Omega=\int _0^{\theta_0}\int_0^{2\pi} \! \cos(\theta) \, d\phi \,d\theta \end{eqnarray}$ Wegen der Rotationssymmetrie kann man die Integration über phi durch eine Multiplikation mit 2pi ersetzen. Die Integrationsgrenze $\begin{eqnarray} \theta_0 \end{eqnarray}$ ist gerade der Winkel zwischen der z-Achse (0\|0\|1) und demjenigen Lichtstrahl, der senkrecht vom Rand des Parabolides ausgeht. Da die 1.Ableitung des Paraboloides z=a(x²+y²) gerade z'=2ax beträgt, gilt $\begin{eqnarray} tan(\theta_0)=2ax \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \theta_0=\arctan(2ax) \end{eqnarray}$ Also wird aus dem obigen Doppelintegral $\begin{eqnarray} \Omega=2\pi \int_0^{arctan(2ax)} \cos(\theta) \,d\theta \end{eqnarray}$ Die Integration und das Zusammenfassen überlasse ich dir. Für $\begin{eqnarray} x\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ (also für einen sehr breiten Paraboloidspiegel) geht die oberger Integrationsgrenze $\begin{eqnarray} \theta_0=\arctan(2ax) \end{eqnarray}$ gegen 90°, so dass das Integral gegen 2pi geht. Das war zu erwarten, weil ein unendlich hoher Paraboloidspiegel den "halben Raum" ausleuchtet.

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