Verschoben! Gaußsche Glockenkurve mit Taylorreihe integrieren

22.09.2010, 19:48	Nashsright	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußsche Glockenkurve mit Taylorreihe integrieren Hallo, In meinem Mathe Schulbuch steht, dass die Glockenkurve der (Standard-)normalverteilung nicht elementar integrierbar ist, aber durch einen "Trick" könne man zeigen, dass die Fläche unter der Glockenkurve 1 ist. Hab jetzt im Internet gelesen, dass man das Ganze u.a. mit einer Taylorreihe zeigen könnte. Die andere Variante, die ich gefunden habe, die Polarkoordinaten verwendet, übersteigt, denke ich, momentan meine Möglichkeiten. Also $\begin{eqnarray} F(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty} ^\infty \! \, e^{-\frac{1}{2}z^{2} } \, dz \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty}^ 0\! \, e^{-\frac{1}{2}z^{2} } \, dz + \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_0^ \infty\! \, e^{-\frac{1}{2}z^{2} } \, dz \end{eqnarray}$ Ich hab dann versucht direkt die Taylorreihe von $\begin{eqnarray} e^{-\frac{1}{2}z^{2}} \end{eqnarray}$ zu entwickeln. Mir ist aber aufgefallen, dass das gar nicht funktionieren kann, da dann die Potenzreihe von $\begin{eqnarray} e^{-z^{2}} \end{eqnarray}$ usw. die gleiche wäre. Warum das so ist bzw. was ich nicht beachtet habe ist mir nicht klar. Gibt es ein Kriterium wann ich eine Taylorreihe entwickeln kann und wann nicht? Dann hab ich $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}z^{2} \end{eqnarray}$ substituiert und die Stammfunktion der entstehenden Potenzreihe gebildet. Hab dann also: $\begin{eqnarray} F(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \left[\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{k+1} }{(k+1)!} \right]_{{-\infty }}^{0} +\frac{1}{\sqrt{2\pi } }\left[\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{k+1} }{(k+1)!} \right]_{0}^{\infty } \end{eqnarray}$ Dann rücksubstituier ich, aber keine Idee wie ich weiter machen könnte, sprich wie ich auf den Grenzwert der Potenzreihe komme.
24.09.2010, 18:08	Nashsright	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußsche Glockenkurve mit Taylorreihe integrieren Ach, hab natürlich Unfug geredet. Das wieder einsetzen von $\begin{eqnarray} -{ \frac{1}{2}} z^{2} \end{eqnarray}$ hätte vor dem integrieren geschehen müssen. Also hab ich: $\begin{eqnarray} F(z)= \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \left[\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^{k} \frac{z^{2k+1} }{(2k+1)2^{k}k!} \right]_{{-\infty }}^{0} +\frac{1}{\sqrt{2\pi } }\left[\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^{k} \frac{z^{2k+1} }{(2k+1)2^{k}k!} \right]_{0}^{\infty } \end{eqnarray}$ Das ist dann aufgrund der Symmetrie: $\begin{eqnarray} F(z)= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left[\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^{k} \frac{z^{2k+1} }{(2k+1)2^{k}k!} \right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray}$ Somit ist auch klar wie der Grenzwert der Potenzreihe lauten muss(außer ich hab etwas komplett falsch gemacht). Wie kommt man aber jetzt auf diesen?

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