Wahrscheinlichkeit, 3 Würfe, 5 Würfel für 5 Sechsen

22.09.2010, 21:56

jacksprw

Wahrscheinlichkeit, 3 Würfe, 5 Würfel für 5 Sechsen

Meine Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit k=3 Würfen mit m=5 Würfeln fünf ?Sechsen? zu erzielen, wenn man die schon erzielten "Sechsen" behalten darf?

Meine Ideen:
Hallo allerseits!

Um die frage zu lösen hätte ich ein (wohl ziemlich umfangreiches :P) Baumdiagramm angelegt. Als Lösung für die Aufgabe ist jetzt aber angegebn: P = (1 ? \frac{5}{6}^{3})^{5}
Sieht simpel aus doch die "Logik" verstehe ich nicht so richtig. \frac{5}{6}^{3} ist doch die Wahrscheinlichkeit für keine Sechs nach drei Würfen mit EINEM Würfel. (1 ? \frac{5}{6}^{3}) ist doch dann die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs nach drei Würfen mit einem Würfel?
Wieso erhält man jedenfalls plötzlich die Wahrscheinlichkeit für 5 Sechsen mit 5 Würfeln in 3 Würfen, wobei man erzielte Sechsen behalten darf, indem man den Ausdruck einfach ^{5} nimmt? Überhaupt, wieso betrachtet man den EINEN würfel in 3 Würfen (\frac{5}{6}^{3}) anstatt vielleicht erstmal die 5 Würfel in EINEM Wurf (\frac{5}{6}^{5}) ...?

Wie gesagt ich bin verwirrt :P Wenn jemand die Antwort irgendwie "erklären" könnte wäre das sehr nett Big Laugh

Grüße

22.09.2010, 22:03

jacksprw

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RE: Wahrscheinlichkeit, 3 Würfe, 5 Würfel für 5 Sechsen
EDIT

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit k=3 Würfen mit m=5 Würfeln fünf „Sechsen“ zu erzielen, wenn man die schon erzielten "Sechsen" behalten darf?

Hallo allerseits!

Um die frage zu lösen hätte ich ein (wohl ziemlich umfangreiches :P) Baumdiagramm angelegt. Als Lösung für die Aufgabe ist jetzt aber angegebn: P = (1 – $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{6})^{3})^{5} \end{eqnarray*}$
Sieht simpel aus doch die "Logik" verstehe ich nicht so richtig. $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{6})^{3} \end{eqnarray*}$ ist doch die Wahrscheinlichkeit für keine Sechs nach drei Würfen mit EINEM Würfel. (1 – $\begin{eqnarray*} ( \frac{5}{6})^{3}) \end{eqnarray*}$ ist doch dann die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs nach drei Würfen mit einem Würfel?
Wieso erhält man jedenfalls plötzlich die Wahrscheinlichkeit für 5 Sechsen mit 5 Würfeln in 3 Würfen, wobei man erzielte Sechsen behalten darf, indem man den Ausdruck einfach hoch 5 nimmt? Überhaupt, wieso betrachtet man den EINEN würfel in 3 Würfen $\begin{eqnarray*} ((\frac{5}{6})^{3}) \end{eqnarray*}$ anstatt vielleicht erstmal die 5 Würfel in EINEM Wurf $\begin{eqnarray*} ((\frac{5}{6})^{5}) \end{eqnarray*}$ ...?

Wie gesagt ich bin verwirrt :P Wenn jemand die Antwort irgendwie "erklären" könnte wäre das sehr nett Big Laugh

Grüße

23.09.2010, 12:29

uztuzt

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Wenn du schon erzielten "Sechsen" behalten darf, spielt keine rolle,wirfst du 3x5 oder 1x15 oder 15 x1 mal.
gehen wir davon aus, dass du wirfst 15 mal 1 wurfel.
Zu baumdiagramm: nur die 2 ereignisse sind dir von bedeutung: "6" mit wahrsch.=1/6 und "keine 6" mit wahr.=5/6. Jeder knoten des baums hat jetzt nur 2 zweige, am ausgang des baums hast du 2^15 = 32768 zweige. Wie viele davon haben 5 mal "6" und 10 mal "keine 6"?
Kombinatorik ist jetzt gefragt. Wir kriegen gleich
Anzahl(5 mal "6" und 10 mal "keine 6" aus 15 mal)=15!/5!/10!=3003.
Zurück zu Wahrscheinlichkeit:
Jede Kette [5 mal "6" und 10 mal "keine 6"] hat die wahr.=(1/6)^5 * (5/6)^10=2,076*10^-5, die 3003 ketten haben die gesamtwahr=0,06237...
nicht viel, aber... durchschnitlich sollte nur 2,5 mal sein...
das war's

24.09.2010, 08:58

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeit, 3 Würfe, 5 Würfel für 5 Sechsen

Zitat:

Original von jacksprw
Wieso erhält man jedenfalls plötzlich die Wahrscheinlichkeit für 5 Sechsen mit 5 Würfeln in 3 Würfen, wobei man erzielte Sechsen behalten darf, indem man den Ausdruck einfach hoch 5 nimmt? Überhaupt, wieso betrachtet man den EINEN würfel in 3 Würfen $\begin{eqnarray*} ((\frac{5}{6})^{3}) \end{eqnarray*}$ anstatt vielleicht erstmal die 5 Würfel in EINEM Wurf $\begin{eqnarray*} ((\frac{5}{6})^{5}) \end{eqnarray*}$ ...?

Ob du beim ersten Wurf die 5 Würfel gleichzeitig wirfst oder nacheinander, ist egal. Es wird zunächst jeder Würfel einmal geworfen. Jetzt bleiben die Würfel liegen, die schon eine 6 zeigen. Nur mit den anderen wirfst du ein zweites mal. Wieder bleiben die liegen, die eine 6 zeigen. Mit den übrigen wirfst ein drittes mal.
Zum Schluss hast du mit jedem Würfel maximal dreimal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei nie eine 6 zeigt, ist (5/6)^3. Die Wahrscheinlichkeit, dass er spätestens nach dritten Wurf eine 6 zeigt, ist dann

$\begin{eqnarray*} 1-(\frac{5}{6})^3 \end{eqnarray*}$

Da alle 5 Würfel zum Schluss eine 6 zeigen sollen, kommt man auf die angegebene Lösungsformel.

24.09.2010, 13:31

jacksprw

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RE: Wahrscheinlichkeit, 3 Würfe, 5 Würfel für 5 Sechsen
Tja, und schon macht die Antwort Sinn :P

Danke für die Erklärung an Huggy !

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