Holomorphie nachweisen

22.09.2010, 22:18

TheSkax

Holomorphie nachweisen

Meine Aufgabe ist es, zu entscheiden, ob
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, z \rightarrow Re(z) \end{eqnarray*}$
holomorph ist.

Mein Versuch:
Sei $\begin{eqnarray*} z_0 = x_0+iy_0 \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ beliebig.
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{Re(z_0+h)-Re(z_0)}{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{Re(x_0+iy_0+h)-Re(x_0+iy_0)}{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{x_0+h-x_0}{h}=1 \end{eqnarray*}$

Allerdings würde das doch bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph ist (was nicht der Fall ist)?

22.09.2010, 22:51

gonnabphd

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Hi,

Bedenke, dass h auch komplexwertig sein kann. smile

23.09.2010, 12:56

TheSkax

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Okay, sei also
$\begin{eqnarray*} h=x_1+iy_1 \end{eqnarray*}$
Dann ist
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim\limits_{\substack{x_1 \rightarrow 0 \\ y_1 \rightarrow 0}} \frac{(x_0+x_1)- x_0}{x_1+iy_1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim\limits_{\substack{x_1 \rightarrow 0 \\ y_1 \rightarrow 0}} \frac{x_1^2-ix_1y_1}{x_1^2+y_1^2} \end{eqnarray*}$
Ist das soweit richtig? Komme leider nicht weiter.

23.09.2010, 13:01

tmo

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Betrachte doch einfach mal die 2 Fälle $\begin{eqnarray*} h_n := \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_n = \frac{i}{n} \end{eqnarray*}$

Übrigens ist eine reelwertige Funktion einer komplexen Veränderlichen nur dann holomorph, wenn die Ableitung überall 0 ist. D.h. wenn du nur eine Richtung findest, in der sich h der 0 nähert, sodass der Grenzwert nicht 0 ist, so ist schon alles klar.

23.09.2010, 13:02

system-agent

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Ich sage einfach einmal Cauchy-Riemannsche DGL.

23.09.2010, 13:44

TheSkax

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Zitat:

Original von system-agent
Ich sage einfach einmal Cauchy-Riemannsche DGL.

Die helfen mir auch nicht so ganz weiter.
Damit muss doch
$\begin{eqnarray*} f(x+iy)=Re(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \end{eqnarray*}$
Aber wie sehen in diesem Fall $\begin{eqnarray*} u, v \end{eqnarray*}$ aus?
$\begin{eqnarray*} u(x,y)=x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} v(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ ?

23.09.2010, 16:58

Sly

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kurz gesagt: ja

23.09.2010, 17:05

TheSkax

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Zitat:

Original von Sly
kurz gesagt: ja

Hm, das war einfacher, als ich es mir vorgestellt habe. Danke.

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