Komplexe Zahlen

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23.09.2010, 00:52	MPONE	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Meine Frage: Hallo Zusammen. Leider hänge ich an zwei Aufgaben bezüglich Komplexen Zahlen. Man soll folgende Zahlen in trigonometrischer Form und in Gestalt x+iy darstellen. Irgendwie komme ich nicht weiter. Kann mir da jemand bitte helfen, bezüglich des Rechenwegs? Danke $\begin{eqnarray} a) \left(1-i\right) ^{6} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b) \left(i-\sqrt{3} \right) ^{8} <br /> \end{eqnarray}$ Vielen Dank für die Hilfe Meine Ideen: Meine Idee: $\begin{eqnarray} <br /> z^{6} = 1-i<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> z^{8} = -\sqrt{3}+i<br /> \end{eqnarray}$ Weiss aber nicht ob der Ansatz richtig ist...
23.09.2010, 01:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ideen machen genau das Gegenteil, sie zielen auf die Einheitswurzel. Wandle die komplexen Zahlen in die trigonometrische Form ("Betrag und Winkel") um und benütze dann den Satz von Moivre. Beachte beim Winkel, dass der Zeiger in den richtigen Quadranten zeigt! mY+ () $\begin{eqnarray} (\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n \varphi + i \sin n \varphi \end{eqnarray}$
23.09.2010, 02:04	MPONE	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank... Ich habe es jetzt.... Man man...Manchmal steht man einfach auf der Leitung...
23.09.2010, 13:22	MPONE	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Hallo Zusammen Ich benötige mal wieder Hilfe. Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter... $\begin{eqnarray} e^{2-6\pi i} \end{eqnarray}$ Bitte um Hilfe Danke Die -2 ist mir unklar....
23.09.2010, 13:35	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nutze die Eigenschaft der Exponentialfunktion $\begin{eqnarray} e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2} \end{eqnarray}$ und frage mal was Euler dazu zu sagen hat.
23.09.2010, 16:22	MPONE	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Danke für die schnelle Antwort. Top. HAst mir weiter geholfen. So jetzt noch eine Frage zu der Aufgabe. $\begin{eqnarray} \sqrt[5]{5+8i} \end{eqnarray}$ Wer kann mir da helfen. Es sollen alle verschiedenen Wete wj j=0,1,...,n-1, die sich für $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{z} \end{eqnarray}$ ergeben. Danke
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23.09.2010, 17:31	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun du suchst also ein $\begin{eqnarray} z\in\mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z^5=5+8i \end{eqnarray}$ . Dieses $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ kann man zb. trigonometrisch darstellen [mit noch unbekanntem Betrag und Argument] und dann nochmal den Satz von Moivre genau ansehen.
23.09.2010, 17:35	MPONE	Auf diesen Beitrag antworten »
Heisst es nicht dann $\begin{eqnarray} z^{1/5} \end{eqnarray}$ wenn ich die Wurzel rüberziehen?
23.09.2010, 17:38	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein! Du suchst Lösungen von $\begin{eqnarray} w= \sqrt[5]{5+8i} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} w^5=5+8i \end{eqnarray}$ . Das stimmte schon...
23.09.2010, 17:39	MPONE	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich danke Euch....
23.09.2010, 19:13	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte aber auch, dass, gerade im Komplexen, solch eine Wurzelnotation höchst unglücklich ist. Wie du hier selbst siehst, kriegst du 5 mögliche "Wurzeln". Im Reellen hat man sich geeinigt, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ die positive Wurzel der beiden Möglichkeiten bedeuten soll. Im Komplexen hast du hier zb. schon einmal gleich 5 Möglichkeiten. Korrekterweise müsste man sagen, dass du die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} w^5=5+8i \end{eqnarray}$ suchst.
23.09.2010, 20:26	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer was auf sich hält schreibt $\begin{eqnarray} \sqrt{...} \end{eqnarray}$ und lässt den Leser den passenden Zweig suchen...

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