Grenzwert von ganz komischem Bruch

23.09.2010, 14:09

LDericher

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Grenzwert von ganz komischem Bruch

Meine Frage:
Moin,
ich soll hier einen Grenzwert berechnen, und zwar Folgenden:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} {\left( {- {{xe^{-(cx)^2}} \over c}} \right) } \end{eqnarray*}$ #

Gruß,
euer LDer

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} {\left( {- {{xe^{-(cx)^2}} \over c}} \right) } \newline<br /> \Rightarrow - {{1} \over {c}} \cdot \lim_{x \to \infty} {\left( {xe^{-(cx)^2}} \right) } \newline<br /> \Rightarrow ^ {x > 0} - {{1} \over {c}} \cdot \lim_{x \to \infty} {\left( {{e^{-(cx)^2}} \over {1 \over x}} \right) } \newline<br /> \Rightarrow ^ {L'Hospital} - {{1} \over {c}} \cdot \lim_{x \to \infty} {\left( {{2c^2x \cdot e^{-(cx)^2}} \over {ln(x)}} \right) } \newline \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie bringt mich das keinen Schritt weiter unglücklich

unglücklich

23.09.2010, 14:11

schultz

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es könnte daran liegen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1} {x} \end{eqnarray*}$ abgeleitet nicht ln(x) ist...

edit: was dich aber auch nicht weiter bringt. schreibe lieber $\begin{eqnarray*} xe^{-(cx)²} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{x}{e^{(cx)²}} \end{eqnarray*}$ und dann l'hospital

23.09.2010, 14:31

LDericher

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Zitat:

Original von schultz
es könnte daran liegen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1} {x} \end{eqnarray*}$ abgeleitet nicht ln(x) ist...

ach verdammt^^ Hab integriert smile

smile

Zitat:

Original von schultz
edit: was dich aber auch nicht weiter bringt. schreibe lieber $\begin{eqnarray*} xe^{-(cx)²} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{x}{e^{(cx)²}} \end{eqnarray*}$ und dann l'hospital

Klingt gut, ich mach mich mal ran Wink

Wink

Gruß,
LDer

23.09.2010, 14:51

LDericher

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Zitat:

Original von LDericher
Klingt gut, ich mach mich mal ran Wink

Wink

Gruß,
LDer

Nachdem ichs ein paar Mal probiert habe, sieht's plötzlich nicht mehr so gut aus:
Wende ich l'Hospital an, so kommt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} {\frac {1} {2c^2x \cdot e^{(cx)^2}} } \end{eqnarray*}$
raus. Das konvergiert aber doch ... tja, gegen was eigentlich genau? 1 wäre in meinem Fall schön.
Jedenfalls habe ich dann eine Umformung gemacht, bei der ich mir nicht sicher bin, ob das i.O. ist:
$\begin{eqnarray*} {\frac {1} {2c^3 \cdot \lim_{x \to \infty} {x \cdot e^(cx)^2}}} \end{eqnarray*}$

Noch ne kurze Fallunterscheidung "c< bzw. >0", und raus kam (für mich, aber vielleicht bin ich beschränkt), dass alles zusammen gegen Null geht. Super. Heißt im Kontext, dass es keine Lösung gibt. Lösung c=1 ist aber als korrekt vorgegeben. traurig

traurig

Kurz zum Kontext: Der Limes ( $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} {- \frac {x \cdot e^{-(cx)^2}} {c}} \end{eqnarray*}$ ) wird gleich 1 gesetzt, und der Mist nach c aufgelöst.

Gruß,
euer LDer

23.09.2010, 15:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von LDericher
Noch ne kurze Fallunterscheidung "c< bzw. >0", und raus kam (für mich, aber vielleicht bin ich beschränkt), dass alles zusammen gegen Null geht.

Das Ergebnis ist ok. Und eine Fallunterscheidung ist dabei nicht erforderlich.

Vielleicht kannst du etwas mehr zum Kontext sagen. Kann ja sein, daß da noch etwas übersehen wurde.

23.09.2010, 17:44

LDericher

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Zitat:

Original von klarsoweit
Vielleicht kannst du etwas mehr zum Kontext sagen. Kann ja sein, daß da noch etwas übersehen wurde.

Der Kontext ist, dass alle c gefunden werden müssen, die folgende Eigenschaft haben:
$\begin{eqnarray*} f_c(x) = \left\{ \begin{matrix} {2c \cdot x \cdot e^{-(cx)^2},} & {x>0}\\ {0,} & {sonst} \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\int_0^\infty \! f_c(x) \, dx = 1} \end{eqnarray*}$

*Edit: Hier stand Quark.*

Gruß,
euer LDer

PS: Warum wird in meiner Signatur ein Link, aber nicht das Bild angezeigt? bzw. wie bekomme ich es auf diesen Server hier?

Edit #2:
Stammfunktion:
$\begin{eqnarray*} F_c(x) = \left\{ \begin{matrix} {- \frac {x} {ce^{(cx)^2}},} & {x>0}\\ {0,} & {sonst} \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$
Integral:
$\begin{eqnarray*} {1 = \int_0^\infty \! f_c(x) \, dx = F_c(x)|^\infty_0} = \lim_{x \to \infty} {F_c(x)} - F_c(0) = \lim_{x \to \infty} {F_c(x)} = \lim_{x \to \infty} {- \frac {x} {ce^{(cx)^2}}} \end{eqnarray*}$

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23.09.2010, 17:59

schultz

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wie kommst du darauf, dass $\begin{eqnarray*} F_c(x) = \left\{ \begin{matrix} {- \frac {x} {ce^{(cx)^2}},} & {x>0}\\ {0,} & {sonst} \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$ die stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f_c(x) = \left\{ \begin{matrix} {2c \cdot x \cdot e^{-(cx)^2},} & {x>0}\\ {0,} & {sonst} \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$ ist?

23.09.2010, 18:10

LDericher

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Zitat:

Original von schultz
wie kommst du darauf, dass $\begin{eqnarray*} F_c(x) = \left\{ \begin{matrix} {- \frac {x} {ce^{(cx)^2}},} & {x>0}\\ {0,} & {sonst} \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$ die stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f_c(x) = \left\{ \begin{matrix} {2c \cdot x \cdot e^{-(cx)^2},} & {x>0}\\ {0,} & {sonst} \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$ ist?

Über partielle Integration:
$\begin{eqnarray*} F_c(x) = \int \! 2cxe^{-(cx)^2} \, dx & | & x > 0 \\ F_c(x) = 0 & | & x <= 0 \\ \int \! 2cxe^{-(cx)^2} \, dx = \int \! \left( - \frac {1} {c} \right) \cdot \left( -2c^2xe^{-(cx)^2} \right) \, dx \\ = - \frac {1} {c} x \cdot {e^{-(cx)^2}} - \int \! e^{-(cx)^2} \cdot 0 \, dx \\ = - \frac {x} {ce^{(cx)^2}} \end{eqnarray*}$

Edit:
Danke, ich glaube, es war ein x zuviel:
$\begin{eqnarray*} F_c(x) = \int \! 2cxe^{-(cx)^2} \, dx & | & x > 0 \\ F_c(x) = 0 & | & x <= 0 \\ \int \! 2cxe^{-(cx)^2} \, dx = \int \! \left( - \frac {1} {c} \right) \cdot \left( -2c^2xe^{-(cx)^2} \right) \, dx \\ = - \frac {1} {c} \cdot {e^{-(cx)^2}} - \int \! e^{-(cx)^2} \cdot 0 \, dx \\ = - \frac {1} {ce^{(cx)^2}} \end{eqnarray*}$

23.09.2010, 18:12

schultz

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deine stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} e^{-(cx)²} \end{eqnarray*}$ falsch.
versuch es mit substitution und setze u=(cx)²

23.09.2010, 18:16

LDericher

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Zitat:

Original von schultz
deine stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} e^{-(cx)²} \end{eqnarray*}$ falsch.

Ich erkenne hier das Stilmittel der Ellipse Lehrer

Lehrer

.

...

Wo brauch ich bitte die Stammfkt zu $\begin{eqnarray*} e^{-(cx)^2} \end{eqnarray*}$ ?

23.09.2010, 18:19

LDericher

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Zitat:

Original von LDericher
$\begin{eqnarray*} F_c(x) = \int \! 2cxe^{-(cx)^2} \, dx & | & x > 0 \\ F_c(x) = 0 & | & x <= 0 \\ \int \! 2cxe^{-(cx)^2} \, dx = \int \! \left( - \frac {1} {c} \right) \cdot \left( -2c^2xe^{-(cx)^2} \right) \, dx \\ = - \frac {1} {c} \cdot {e^{-(cx)^2}} - \int \! e^{-(cx)^2} \cdot 0 \, dx \\ = - \frac {1} {ce^{(cx)^2}} \end{eqnarray*}$

Btw: Kann ich mir den Dreck nicht sowieso sparen?
$\begin{eqnarray*} F_c(x) = \int \! 2cxe^{-(cx)^2} \, dx & | & x > 0 \\ F_c(x) = 0 & | & x <= 0 \\ \int \! 2cxe^{-(cx)^2} \, dx = \int \! \left( - \frac {1} {c} \right) \cdot \left( -2c^2xe^{-(cx)^2} \right) \, dx \\ = - \frac {1} {c}\int \! -2c^2xe^{-(cx)^2} \, dx \\ = - \frac {1} {c} e^{-(cx)^2} \end{eqnarray*}$

Gruß,
LDer

23.09.2010, 18:55

LDericher

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Weiteres Problem:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} {\frac{1}{c} e^{-(cx)^2}} = \frac{1}{c} \lim_{x \to \infty} {e^{-(cx)^2}} = \frac{1}{c} \lim_{x \to \infty} {e^{-c^2}e^{x^2}} = \frac{1}{ce^{c^2}} \lim_{x \to \infty} {e^{x^2}} \end{eqnarray*}$
Irgendwas mach ich doch falsch unglücklich

unglücklich

verwirrt

23.09.2010, 19:23

LDericher

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Gut, ich glaube, ich hab euch verstanden. Ich gebs auf und halt die Fresse. -.-

Manches kann man einfach nicht lösen. Nur schade, dass es immer meine Probleme sind, die diese EIgenschaft haben Big Laugh

Big Laugh

23.09.2010, 19:30

IfindU

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$\begin{eqnarray*} e^{a+b} = e^a e^b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{ab} = (e^{a})^{b} = (e^{b})^{a} \end{eqnarray*}$

Die beiden solltest du nicht durcheinander werfen.

23.09.2010, 19:48

LDericher

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Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} e^{a+b} = e^a e^b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{ab} = (e^{a})^{b} = (e^{b})^{a} \end{eqnarray*}$

Die beiden solltest du nicht durcheinander werfen.

Gut, ändert aber auch nicht viel an meiner Situation. Dann steht da halt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} {\frac{1}{c} e^{-(cx)^2}} = \frac{1}{c} \lim_{x \to \infty} {e^{-(cx)^2}} = \frac{1}{c} \lim_{x \to \infty} {e^{-x^2c^2}} = \frac{1}{c} \lim_{x \to \infty} {(e^{-x^2})^{c^2}} \end{eqnarray*}$
was aber ganz eindeutig = 0 ist unglücklich

unglücklich

Das kann aber nicht sein, weil 1 definitiv nicht 0 ist.

Gruß

23.09.2010, 19:51

IfindU

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Ich hab den Thread nicht ganz verfolgt, aber kann es nicht sein dass du dich an der falschen Grenze festklammerst?

23.09.2010, 19:55

LDericher

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Zitat:

Original von IfindU
kann es nicht sein dass du dich an der falschen Grenze festklammerst?

Äh, die untere Grenze (0) ist per Definition 0...

Also 0-0 bleibt in meinen Augen 0. Und das ergibt einfach keinen Sinn

Zitat:

Original von IfindU
Ich hab den Thread nicht ganz verfolgt

Mach mal, du hast bestimmt noch eine bessere Idee smile

smile

Gruß,
Euer LDer

23.09.2010, 19:58

IfindU

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Grenzwert von ganz komischem Bruch

Bin auf den Post gestoßen - nur weil die Funktion 0 ist heißt nicht, dass ihre Stammfunktion dort 0 ist. Siehe f(x) = -sin(x), f(0) = 0, aber F(x) = cos(x), und F(0) = 1!

23.09.2010, 20:05

LDericher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Grenzwert von ganz komischem Bruch

Bin auf den Post gestoßen - nur weil die Funktion 0 ist heißt nicht, dass ihre Stammfunktion dort 0 ist. Siehe f(x) = -sin(x), f(0) = 0, aber F(x) = cos(x), und F(0) = 1!

Das als Unsinn zu bezeichnen, entzöge sich jeder rationalen Grundlage.

Und wie bestimme ich dann die Stammfunktion an der Stelle 0?
Klar, ich bekomme 1, wenn ich x gegen 0 laufen lasse und das ist auch gut so Augenzwinkern

Augenzwinkern

, aber wie entscheidet sich das?
Ich meine, die Definition von fc ist ja so:
$\begin{eqnarray*} f_c(x) = \left\{ \begin{matrix} {2c \cdot x \cdot e^{-(cx)^2},} & {x>0}\\ {0,} & {sonst} \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$
Wie entscheidet sich nun der Wert von $\begin{eqnarray*} F_c(0) \end{eqnarray*}$ ?

Gruß,
Euer LDer

23.09.2010, 20:08

IfindU

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$\begin{eqnarray*} f_c(x) = \left\{ \begin{matrix} {2c \cdot x \cdot e^{-(cx)^2},} & {x\geq0}\\ {0,} & {sonst} \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$

Ist genau die gleiche Funktion - und dafür hast du die Stammfunktion ja bereits gefunden.

23.09.2010, 20:10

LDericher

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Zitat:

Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} f_c(x) = \left\{ \begin{matrix} {2c \cdot x \cdot e^{-(cx)^2},} & {x\geq0}\\ {0,} & {sonst} \end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$ Ist genau die gleiche Funktion

Och nee, so was Doofes Big Laugh

Big Laugh

Danke

Tanzen

23.09.2010, 20:21

schultz

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konntest du dein c jetzt berechnen? smile

smile

23.09.2010, 20:28

LDericher

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Zitat:

Original von schultz
konntest du dein c jetzt berechnen? smile

smile

Ja, es ist 1, wie erwartet Augenzwinkern

Augenzwinkern

Fc(oo) = 0 | oo = unendlich^^
Fc(0) = -1/c
also 1 = Fc(oo)-Fc(0) = 1/c | stimmt für c=1 und nur dafür Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
Euer LDer

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