Sigma-Algebra

23.09.2010, 14:31

eisley

Sigma-Algebra

Hallo zusammen!

Ich habe Unsicherheiten betreffend Sigma-Algebren. Sei zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ a, b, c\right\} \end{eqnarray*}$ und ich möchte $\begin{eqnarray*} \sigma \left(\left\{a, b\right\} \right) \end{eqnarray*}$ berechnen:
$\begin{eqnarray*} \sigma \left(\left\{a, b\right\} \right) = \left\{ \left\{ 0\right\}, \left\{a\right\} , \left\{ b\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\} \end{eqnarray*}$ wobei 0 die leere Menge ist.

..stimmt das so?

23.09.2010, 14:58

Zellerli

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Warum die Unsicherheit? Immer die Definition prüfen.

1. Ist die Grundmenge drin? Ja, da ist sie: $\begin{eqnarray*} \{a,b \} \end{eqnarray*}$
2. Sind jeweils die Komplemente drin? Ja. Es ist $\begin{eqnarray*} \{a,b \}^C = \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{a \}^C = \{b \} \end{eqnarray*}$ und jeweils umgekehrt.
3. Ist eine beliebige Vereinigung der Elemente immernoch drin? Ja. Die Grundmenge mit irgendwas zu vereinigen ist witzlos, genauso die leere Menge irgendwo hinzuzufügen und $\begin{eqnarray*} \{a \} \cup \{b \} = \{a,b\} \end{eqnarray*}$ ist drin.

Und übrigens: "Berechnet" hast du da aber nichts Augenzwinkern

23.09.2010, 14:59

eisley

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haha ja.. von rechnen kann wirklich nicht die Rede sein. aber das wäre in dem Falle schon alles? wunderbar.. dann hab ichs doch im Kasten.

vielen lieben Dank für die schnelle Antwort!

Grüsse eisley

23.09.2010, 15:13

Cugu

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Vielleicht verstehe ich die Aufgabe nicht richtig, aber ist mit $\begin{eqnarray*} \sigma \left(\left\{a, b\right\} \right) \end{eqnarray*}$ nicht die von $\begin{eqnarray*} \left\{a, b\right\} \end{eqnarray*}$ erzeugte Sigma-Algebra über der Grundmenge $\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ a, b, c\right\} \end{eqnarray*}$ gemeint?

23.09.2010, 15:15

org

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Zitat:

Original von Zellerli
1. Ist die Grundmenge drin? Ja, da ist sie: $\begin{eqnarray*} \{a,b \} \end{eqnarray*}$

Ist nicht $\begin{eqnarray*} \sigma\{a,b\}= \end{eqnarray*}$ die kleinste Sigma-Algebra von $\Omega$, die die Menge $\{a,b\}$ enthält??
Und dann müsste doch $\Omega$ selbst auch in der Sigma-Algebra sein.

Ihr habt doch die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \{a,b \} \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben, oder???

23.09.2010, 15:19

eisley

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ich war mir eben nicht sicher.. aber die Aufgabe war so gemeint, wie cugu sie interpretiert hat.

23.09.2010, 15:22

Cugu

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Wie wäre es dann mit
$\begin{eqnarray*} \sigma \left(\left\{a, b\right\} \right) = \Big\{ \left\{ \right\}, \left\{c\right\} , \left\{ a,b\right\}, \left\{ a,b,c\right\} \Big\} \end{eqnarray*}$ ?

23.09.2010, 15:24

org

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{a,b} ist in der Sigma-Algebra, also auch das Komplement {c}.
Dazu noch {0} und {Omega}.

Prüfe noch, ob das reicht...

23.09.2010, 15:24

eisley

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kurz gefragt: warum ist dann $\begin{eqnarray*} \left\{ a\right\} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \left\{ b\right\} \end{eqnarray*}$ nicht drin?

edit: ah - frage eben beantwortet.

23.09.2010, 15:25

org

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Immer 2min zu langsam Hammer

23.09.2010, 15:25

eisley

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lass mich doch! ich bin eine frau.. das muss so sein! haha

23.09.2010, 15:26

org

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Die sind in der Potenzmenge von Omega.

Aber nicht notwendigerweise in der Algebra (Axiome nachrechnen)

23.09.2010, 15:26

eisley

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danke !

23.09.2010, 16:17

Zellerli

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Ah, wenn das so gemeint war. Falsch interpretiert.

Naja macht Sinn, warum sonst, sollte Omega separat angegeben sein.
Aber gut, dass sich auch die korrekte Aufgabenstellung geklärt hat.

23.09.2010, 16:21

Cugu

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Nur so nebenbei:
Ist $\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ a, b\right\} \end{eqnarray*}$ , dann erhält man
$\begin{eqnarray*} \sigma \left(\left\{a, b\right\} \right) = \Big\{ \left\{ \right\}, \ \left\{ a,b\right\} \Big\} \neq \Big\{ \left\{ \right\}, \left\{a\right\} , \left\{ b\right\}, \left\{ a,b\right\} \Big\} \end{eqnarray*}$ .

23.09.2010, 19:36

eisley

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ich dachte mir, ich hätte das jetzt durch und durch verstanden.. aber wie macht man das zum Beispiel hier?

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega =\left[0,1\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Im =\left\{ \left[0, \frac{1}{4}\right),\left[\frac{1}{4} , \frac{1}{2}\right), \left[\frac{1}{2} , \frac{3}{4}\right), \left[\frac{3}{4} , 1\right) \right\} \end{eqnarray*}$

..und man soll $\begin{eqnarray*} \sigma\left(\Im \right) \end{eqnarray*}$ berechnen..

Vielen Dank für die Hilfe!

eisley

23.09.2010, 20:07

Cugu

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Nimm zunächst die Elemente aus $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$ und füge $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ hinzu.

Im zweiten Schritt fügst du die Komplemente hinzu.

Im dritten Schritt erweiterst du die resultierende Menge so, dass sie $\begin{eqnarray*} \cup_\infty \end{eqnarray*}$ -stabil ist.

Im vierten Schreitt erweitert du die resultierende Menge so, dass sie $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ -stabil ist.

Im fünften Schritt erweiterst du die resultierende Menge so, dass sie $\begin{eqnarray*} \cup_\infty \end{eqnarray*}$ -stabil ist.

usw.

Im allgemeinen wirst du so zwar nicht fertig, aber da $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$ endlich ist dürfte das klappen.

edit:
in diesem Fall besser erst die Vereinigungen hinzunehmen und nicht explizit hinschreiben...

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