Lösen eines Integrals ohne Integration

08.11.2006, 20:20

PG

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Lösen eines Integrals ohne Integration

Hi
Es muss folgendes gezeigt werden( eine lange Aufgabe, die ich fast fertig habe):
$\begin{eqnarray*} V_{Schlauch}=2\pi^2r^2a \end{eqnarray*}$
Wie kann ich folgendes ohne die Umkehrung der Kettenregel lösen:

$\begin{eqnarray*} V_{Schlauch}=2\pi \int^r_0(4a\sqrt{r^2-x^2})\dx =8a\pi\int^r_0(\sqrt{r^2-x^2})\dx \end{eqnarray*}$

Man sieht, dass die Randfunktion die Funktion vom Halbkreis darstellt.

Aber wie es weitergeht, weiß ich nicht.

08.11.2006, 20:32

Geistermeister

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Du musst zuerst substituieren:
x = r*sin(u)
dx = r*cos(u) du
und den Kosinussatz benutzen:
1-sin²(u) = cos²(u)
Nun wird die partielle Integration benutzt.
Dabei entsteht ein neues Integral, das du wieder durch partielle
Integration weiter auflöst. Dann kannst du die Integrale zusammenfassen! Beispiel:
Int(x) = x² - Int(x)
2Int(x) = x²
Int(x) = x²/2
Und beim Rücksubstituieren setze für u ein:
u = arcsin(x/r)

08.11.2006, 20:37

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von PG
Wie kann ich folgendes ohne die Umkehrung der Kettenregel lösen:

Du meinst ohne Substitution? Dann probiere es mal mit partieller Integration!

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{r^2-x^2}~\mathrm dx=\int~1\cdot \sqrt{r^2-x^2}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

08.11.2006, 20:42

PG

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Nein sry ich habe mich falsch ausgedrückt.
Ich darf keine Regel der Integration anwenden, AUßER die Umkehrung der Allgemeinen Form der Ableitung.

Wir haben bis jetzt Integration mittels Substitution, partielle Integration etc. nicht besprochen.

edit: Mein lehrer meinte, dass das 1/4 der Kugel sei oder so ähnlich. Ich habe es damit versucht, aber komme nicht auf das Ergebnis

08.11.2006, 20:51

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von PG
edit: Mein lehrer meinte, dass das 1/4 der Kugel sei oder so ähnlich. Ich habe es damit versucht, aber komme nicht auf das Ergebnis

Welche Kugel? Ich wüsste, ehrlich gesagt, auf Anhieb nicht, wie man das ohne eine der Methoden lösen sollte, außer zu sagen, dass gilt: Das Integral ist die Fläche eines Halbkreises mit Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Diese beträgt bekanntermaßen $\begin{eqnarray*} \frac{\pi r^2}{2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

edit: Ich vermute, du hast dich in der Formel geirrt, zeige mal die gesamte Aufgabe!

08.11.2006, 21:03

PG

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Also die Aufgabe lautet:

Das Volumen eines Fahrradschlauches(eines Torus)
Betrachtet man den (kreisförmigen) Querschnitt eines Fahrradschlauches und läßt man ihn einmal um die Radachse umlaufen, erfaßt er das gesamte Volumen des Schlauchs

a) Der Radius des Kreises sei r, der Abstand des Kreismittelpunktes von der Drehachse sei a mit a>r. Bestätige folgende Berechnungsformel für das Volumen des Torus:

$\begin{eqnarray*} V=2\pi^2r^2a \end{eqnarray*}$

Hinweis: Die Punkte P (x;y) auf der oberen Kreishälfte genügen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+(y-a)^2=^2 \end{eqnarray*}$ ;was gilt für die der unteren Kreishälfte? Leite daraus die Gleichungen der Funktionen ab, deren Graph der obere bzw. der untere Halbkreis ist!

Also zuerst die Kreisfunktion mit a nach y auflösen, dann bekommt man 2 Funktionen, die beide die Hälfte des Kreises oberhalb der x-Achse ausmachen. Dann Volumen des Schlauches berechnen.
Danach haben wir soweit im Unterricht bearbeitet:
$\begin{eqnarray*} V=\pi(\int^r_{-r}(\sqrt{r^2-x^2}+a)^2~dx-\int^r_{-r}(-\sqrt{r^2-x^2}+a)^2~dx) \end{eqnarray*}$

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08.11.2006, 21:10

AD

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Zitat:

Original von PG
Das Volumen eines Fahrradschlauches(eines Torus)

Wichtige Info, die oben leider fehlte - es gibt auch noch andere Schläuche!

Zitat:

Original von PG
Hinweis: Die Punkte P (x;y) auf der oberen Kreishälfte genügen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+(y-a)^2=^2 \end{eqnarray*}$ ;was gilt für die der unteren Kreishälfte? Leite daraus die Gleichungen der Funktionen ab, deren Graph der obere bzw. der untere Halbkreis ist!

Das bedeutet, man stellt den Torus als Differenz zweier Rotationskörper dar, die beide durch Rotation einer Funktion $\begin{eqnarray*} y=g(x) \end{eqnarray*}$ um die x-Achse entstehen. Und diese beiden Funktionen sind der obere und der untere Halbkreis.

08.11.2006, 21:12

PG

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Zitat:

Zitat:

Das Volumen eines Fahrradschlauches(eines Torus)

Wichtige Info, die oben leider fehlte - es gibt auch noch andere Schläuche!

sry. Übrigens habe ich meinen Beitrag ein paar mal editiert und ein paar Sachen hinzugefügt(s.o.)

Zitat:

Das bedeutet, man stellt den Torus als Differenz zweier Rotationskörper dar, die beide durch Rotation einer Funktion um die x-Achse entstehen. Und diese beiden Funktionen sind der obere und der untere Halbkreis.

Ja soweit habe ich es ja auch, aber, wie geht es weiter?

08.11.2006, 21:19

Mathespezialschüler

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Du hast alles korrekt gemacht. Wie ihr das Integral ohne Lösungsmethoden lösen sollt, ist mir immer noch schleierhaft.

Gruß MSS

08.11.2006, 21:21

AD

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Na sofern das hier

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} V=\pi(\int^r_{-r}(\sqrt{r^2-x^2}+a)^2~dx-\int^r_{-r}(-\sqrt{r^2-x^2}+a)^2~dx) \end{eqnarray*}$

klar ist, musst du doch nur noch die Integranden zusammenfassen, nach binomischer Formel ausmultiplizieren und zusammenfassen. Dann erhältst du ein Integral, was du ebenfalls bei einem bestimmten dazu volumengleichen Kreiszylinder erhältst - ich denke mal, so ist die Aufgabe beabsichtigt.

08.11.2006, 21:26

PG

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RE: Lösen eines Integrals ohne Integration
Hmmm vielleicht weiß es Arthur.

Man kann folgendes Integral auch so ausdrücken:

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int^r_0(4a\sqrt{r^2-x^2})\dx =(4a)2\pi\int^r_{0}(\sqrt{r^2-x^2})\dx \end{eqnarray*}$

Wenn wir die Randfunktion nun Integrieren( vernachlässigen wir $\begin{eqnarray*} 4a \end{eqnarray*}$ ) Was kommt da raus? Also einfach nur integrieren, was kommt da raus? Denn dann kann ich schauen, von welchen Körper, das der Volumen ist.

09.11.2006, 00:01

PG

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Jawohl... Ich bin auf die Lösung gekommen- Das muss das richtige sein und ich will es hier ausstellen, damit die Unklarheit weggeht:

$\begin{eqnarray*} \int^r_0\sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$ beschreibt eine Fläche von 0 bis r (Radius). Da durch die Randfunktion ein Halbkreis beschrieben wird und wir die Fläche nur von 0 bis r brauchen ,können wir die Flächeninhaltsformel von Kreisen nehmen. Aber wir müssen es "vierteln", weil von 0 bis r sind nur ein Viertel vom Kreis.

Also gilt:
$\begin{eqnarray*} \int^r_0\sqrt{r^2-x^2}=\frac{1}{4}\pi r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=8\pi a\cdot\frac{1}{4}\pi r^2=2\pi^2r^2a \end{eqnarray*}$

Prost

Prost

09.11.2006, 00:35

Mathespezialschüler

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Sowas ähnliches hatte ich oben auch schon gesagt, nur dass ich mich auf das Integral von $\begin{eqnarray*} -r \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ bezogen hab:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich wüsste, ehrlich gesagt, auf Anhieb nicht, wie man das ohne eine der Methoden lösen sollte, außer zu sagen, dass gilt: Das Integral ist die Fläche eines Halbkreises mit Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Diese beträgt bekanntermaßen $\begin{eqnarray*} \frac{\pi r^2}{2} \end{eqnarray*}$ .

Augenzwinkern

Gruß MSS

09.11.2006, 17:30

PG

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Sowas ähnliches hatte ich oben auch schon gesagt, nur dass ich mich auf das Integral von $\begin{eqnarray*} -r \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ bezogen hab:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich wüsste, ehrlich gesagt, auf Anhieb nicht, wie man das ohne eine der Methoden lösen sollte, außer zu sagen, dass gilt: Das Integral ist die Fläche eines Halbkreises mit Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Diese beträgt bekanntermaßen $\begin{eqnarray*} \frac{\pi r^2}{2} \end{eqnarray*}$ .

Augenzwinkern

Gruß MSS

Ok du hast recht- Sry lag wieder an mir und außerdem habe ich bisher keine Aufgabe gesehen, die du nicht konntest...(wird dieser Tag noch anbrechen? )

Naja machen wir mal weiter:
die nächste Teilaufgabe lautet:

Zeige: Das Volumen des Torus ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der Kreisfläche und dem Weg des Mittelpunktes

Hier überlege ich gerade...

09.11.2006, 17:43

Mathespezialschüler

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Die Aufgabe sollte genauer lauten:

Zeige: Das Volumen des Torus ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der Kreisfläche und der Länge des Weges des Mittelpunktes bei der Rotation.

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt. Er hat zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse den Abstand $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Wenn er nun um diese rotiert, dann entsteht ein Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Die Länge des Weges, den $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ dann zurücklegt, ist einfach der Umfang dieses Kreises.

Gruß MSS

PS: Naja, bei Schulaufgaben ist das ja auch nicht so schwierig, aber es gibt schon genug Aufgaben, die ich nicht lösen kann! Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.11.2006, 18:18

PG

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Meint der Aufgabensteller mit "Weg des Mittelpunktes" einfach den Umfang mit dem Radius a?

Woher weißt du das so schnell? Gibt es da vielleicht Tricks, die man anwenden kann, um diese Aufgabe zu lösen?

Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} V=\pi r^2\cdot 2\pi a \end{eqnarray*}$

10.11.2006, 17:21

Mathespezialschüler

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Naja der Mittelpuntk legt bei der Rotation einen Weg zurück und das ist nunmal ein Kreis mit Umfang $\begin{eqnarray*} 2\pi a \end{eqnarray*}$ . Wüsste nicht, welchen Trick du da meinst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

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