Differential-Ungleichung

23.09.2010, 18:25

Karlheinz23

Differential-Ungleichung

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Die Funktion f sei unendlich oft differenzierbar auf der Menge der reellen Zahlen. Es gilt nun folgende (Differential ?]-Ungleichung zu lösen:
$\begin{eqnarray*} f' \leq f \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Beim Gleichheitszeichen wäre
$\begin{eqnarray*} f(x) = C * exp(x) \end{eqnarray*}$

die Lösung, aber bei der Ungleichung weiß ich nicht weiter.

23.09.2010, 20:57

Cugu

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Wie wäre es mit
$\begin{eqnarray*} f(x) \leq C \cdot \exp(x) \end{eqnarray*}$ ?

Gronwall's inequality...

23.09.2010, 21:43

gonnabphd

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Hallo Cugu,

Gilt die nicht nur für Intervalle $\begin{eqnarray*} [a, +\infty) \end{eqnarray*}$ ? Bzw. bei dir $\begin{eqnarray*} [0,+\infty) \end{eqnarray*}$ .
Und obwohl sie hilfreich ist, löst sie das Problem noch nicht.

Wink

An Karlheinz23: Soll die Ungleichung wirklich auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gelöst werden?

Im übrigen sind viele Lösungen durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x) = A e^{\alpha x} + B \end{eqnarray*}$ gegeben. Ob darunter alle zu finden sind... kA

23.09.2010, 22:00

Karlheinz23

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Also, die Aufgabe lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} D:C^\infty(\mathbb R, \mathbb R) \rightarrow C^\infty(\mathbb R, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ die Abbildung, die einer unendlich of diff'baren Funktion g, auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert, die Ableitung $\begin{eqnarray*} D(g) := g' \end{eqnarray*}$ zuordnet. Was sind die Präfixpunkte dieser Abbildung ?
Und ich dachte, man müsste dann die obige Ungleichung lösen ... verwirrt

23.09.2010, 22:05

gonnabphd

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Ehrlich gesagt, bezweifle ich ein bisschen, dass es eine schöne Lösung gibt, denn es erfüllen z.B. auch Funktionen wie

$\begin{eqnarray*} f(x) = p(x)e^{\alpha x} + \beta \end{eqnarray*}$

mit p(x) Polynom von geradem Grad und genügend gross gewähltem $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , sowie genügend kleinem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Ungleichung...

Edit: Hab deine Antwort nicht gesehen

23.09.2010, 22:08

Cugu

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Wir haben doch $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\frac{f(x)}{e^x}\leq0 \end{eqnarray*}$ .
Das ist äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} f(x) \leq f(0) \cdot e^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f(x) \geq f(0) \cdot e^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ .

edit:
Ich glaube das passt doch. Also muss man nur mit dem Vorzeichen aufpassen...

23.09.2010, 22:27

gonnabphd

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Ja, sollte schon stimmen. Hmm, seltsame Aufgabe...

24.09.2010, 08:32

Karlheinz23

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Hallo Ihr beiden,
vielen Dank schon einmal für Eure Hilfe. Aber Cugu, wie kommst Du auf die Ungleichung in Deinem letzten Post ?
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\frac{f(x)}{e^x}\leq 0 \end{eqnarray*}$

???

Ich hab mir inzwischen noch folgende Gedanken gemacht:
Kann man die Ungleichung nicht auch umformulieren in
$\begin{eqnarray*} f'(x) + h(x) = f(x) \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} h(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
???

Das wäre dann ja eine (relativ einfache) DGL 1.Ordnung.

24.09.2010, 09:34

Huggy

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Die Lösung steht ja schon da. Du suchst eine alternative Herleitung. Wie wäre das, zunächst mal für f, f' > 0:

Aus f' <= f folgt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{f'}{f}=\frac{d}{dx}\ln {f(x)}\leq 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt einfach integrieren.

24.09.2010, 12:47

gonnabphd

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Zitat:

Ich hab mir inzwischen noch folgende Gedanken gemacht:
Kann man die Ungleichung nicht auch umformulieren in
$\begin{eqnarray*} f'(x) + h(x) = f(x) \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} h(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ja, das ist natürlich ein sehr guter Gedanke! Allerdings muss $\begin{eqnarray*} h(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein. Aber ansonsten sollten alle Lösungen deiner Aufgabe gegeben sein, wenn $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} \{ g \in C^\infty ( \mathbb R ) \, | \, g \ge 0 \} \end{eqnarray*}$ durchläuft.

Ja, sehr schöner Gedanke.

@Huggy:

Zitat:

Das gibt einem die Abschätzung für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und dann? Ich sehe nicht inwiefern das die Aufgabe löst.

24.09.2010, 13:43

tmo

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Zitat:

Original von gonnabphd
Aber ansonsten sollten alle Lösungen deiner Aufgabe gegeben sein, wenn $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} \{ g \in C^\infty ( \mathbb R ) \, | \, g \ge 0 \} \end{eqnarray*}$ durchläuft.

Was man auch leicht zeigen kann, denn der Ansatz $\begin{eqnarray*} y'+h=y \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} y=-\int \frac{h}{e^x}dx \cdot e^x \end{eqnarray*}$ .

Erfüllt f die Ungleichung $\begin{eqnarray*} f' \leq f \end{eqnarray*}$ , so wähle $\begin{eqnarray*} h=f-f' \geq 0 \end{eqnarray*}$ und es ergibt sich $\begin{eqnarray*} y = f(x) +ce^x \end{eqnarray*}$ als Lösung der DGL, mit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ wiedergefunden.

24.09.2010, 13:57

Huggy

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Zitat:

Original von gonnabphd
Das gibt einem die Abschätzung für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und dann? Ich sehe nicht inwiefern das die Aufgabe löst.

Okay, das war wohl etwas kurz.
Wenn man, beschränkt auf den Teil der Lösungen mit f, f' > 0, von 0 bis x integriert, erhält man die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} f(x)\leq f(0)e^x \end{eqnarray*}$

Das bedeutet

$\begin{eqnarray*} f(x)=c(x) f(0)e^x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c(x)\in [0, 1] \end{eqnarray*}$

Das abgeleitet ergibt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=c'(x)f(0)e^x+c(x)f(0)e^x=c'(x)f(0)e^x+f(x) \end{eqnarray*}$

Wegen f' <= f bedeutet das c' <= 0.

Die Gesamtheit aller Lösungen, beschränkt auf den Bereich f, f' > 0 ist also gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f(x)=c(x) f(0)e^x \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} c(x)\in [0, 1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c'(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$

Nun vermute ich, dass sich die Lösungen für c(x) nicht formelmäßig charakterisieren lassen. damit wäre die Abschätzung das Beste, was man erreichen kann.

24.09.2010, 19:07

gonnabphd

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Zitat:

Original von Huggy
Wenn man, beschränkt auf den Teil der Lösungen mit f, f' > 0, von 0 bis x integriert, erhält man die Abschätzung

Hmm, der Ansatz ist wohl ein bisschen problematisch, da man einige (sehr viele?) Fälle unterscheiden müsste. Wenn beide Funktionen überall grösser oder kleiner 0 sind, würde das ja noch einigermassen gehen, aber die Funktionen können ja alles mögliche machen.
Beachte nur mal ein einfaches Beispiel wie $\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(x) + 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von tmo
Was man auch leicht zeigen kann, denn der Ansatz $\begin{eqnarray*} y'+h=y \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} y=-\int \frac{h}{e^x}dx \cdot e^x \end{eqnarray*}$ .

Erfüllt f die Ungleichung $\begin{eqnarray*} f' \leq f \end{eqnarray*}$ , so wähle $\begin{eqnarray*} h=f-f' \geq 0 \end{eqnarray*}$ und es ergibt sich $\begin{eqnarray*} y = f(x) +ce^x \end{eqnarray*}$ als Lösung der DGL, mit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ wiedergefunden.

Jop.

Übrigens kann man das noch ein bisschen vereinfachen. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} h \mapsto he^{-x} \end{eqnarray*}$ ist auf der betrachteten Menge bijektiv. Also kann man die Exponentialfunktion im Integral schonmal weglassen und wenn man dann integriert, kommt man auf die allgemeine Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} \{ f(x)e^x \, | \, f \in C^\infty(\mathbb R), \; f' \le 0 \} \end{eqnarray*}$

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