Tangenten zweier Funktionen parallel

23.09.2010, 20:39

minemäuschen

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Tangenten zweier Funktionen parallel

Meine Frage:
Die Gerade mit der Gleichung x=a schneidet den Graphen der Funktion f in P(a|f(a)) und den Graphen der Funkton g in Q(a|g(a)).Bestimmen Sie die Tangente so, dass die Tangenten in P und Q parallel sind.

f(x)=x g(x)=x²

Meine Ideen:
gegeben: f(x)=x ; g(x)=x²
P(a|f(a)) ; Q(a|g(a))
gesucht: a

wenn x=a gilt dann heißt es f(a)=a und g(a)=a².
dann habe ich mir noch gedacht, dass man die Ableitungen der Funktionen gleichsetzten könnte, da dieses Ergebnis die gemeinsame Steigung der Tangenten wäre. Also: a=a² aber ich weiß nicht ob ich überhaupt richtig anfange oder wie ich jetzt weiter machen sollte.

23.09.2010, 20:40

minemäuschen

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RE: Tangenten zweier Funktionen parallel
ähm ups ich meinte anstatt a=a²
die Ableitung also f'(a)=0
und g'(a)=2a

23.09.2010, 20:42

system-agent

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Ja, der Ansatz ist OK. Damit die Tangenten parallel sind müssen die Steigungen gleich sein. Das bedeutet du musst $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} g'(a)=f'(a) \end{eqnarray*}$ .

Überprüfe noch einmal die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

23.09.2010, 20:45

minemäuschen

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a ist doch eine Konstante und Konstanten werden zu null...oder ist es so, dass ich schreiben kann: a^1 und dann wird a folgendermaßen abgeleitet: f'(a)=1*a^0

23.09.2010, 20:47

system-agent

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Naja, du hast schon Recht, nur in diesem Fall soll das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die x-Koordinate des Extrempunktes bedeuten.
Wenn du das lieber hast, dann rechne zuerst mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und nenne das Resultat dann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

23.09.2010, 20:49

minemäuschen

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was ist ein Extrempunkt?
Und wieso soll ich zuerst mit x rechnen? also so:
f'(x)=0 und g'(x)=2x oder wie meinst du /Sie das?

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23.09.2010, 20:54

system-agent

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Im Forum ist ein "du" angebracht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Du willst eine Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ finden derart, dass $\begin{eqnarray*} g'(a)=f'(a) \end{eqnarray*}$ gilt, das bedeutet, dass die Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ diese Gleichung erfüllt.

Nun hast du, dass $\begin{eqnarray*} g'(x)=2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x)=1 \end{eqnarray*}$ schon richtig bestimmt. Welchen Wert muss $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ haben, damit $\begin{eqnarray*} g'(a)=f'(a) \end{eqnarray*}$ richtig ist?

23.09.2010, 21:00

minemäuschen

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ich lehne mich jetzt mal ziemlich weit aus dem Fenster und sagen/schreibe
1 müsste dann für a gelten, da wenn ma g'(1)=1*2;
f'(1)=1

23.09.2010, 21:04

system-agent

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Also versuchen wir $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ . Wie gesagt, dieses gesuchte $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ soll die Gleichung $\begin{eqnarray*} f'(a)=g'(a) \end{eqnarray*}$ erfüllen. Nun also muss mit $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ also
$\begin{eqnarray*} 1=2\cdot1 \end{eqnarray*}$ gelten, was allerdings eher falsch ist.

Nun ein neuer Versuch. Ein kleiner Hinweis: Du musst $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht raten, du kannst einfach die entsprechende Gleichung lösen um es zu finden.

23.09.2010, 21:05

minemäuschen

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ich hatte einen kleinen Denkfehler bei mir war 2*1=1 Big Laugh

Big Laugh

keine Ahnung warum.
dann heißt es:
2a=1 |-1
a=0

23.09.2010, 21:22

system-agent

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Soso, dann lös diese Gleichung nochmal, aber dieses mal richtig. Da steht nämlich etwas vor dem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und das kannst du leicht weg kriegen.

23.09.2010, 21:24

minemäuschen

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moment...also Gleichung:
2a=1 |:2
a=1/2

Ps: ich denke zu kompliziert

23.09.2010, 21:26

system-agent

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Jetzt ist gut Freude

Freude

.

Nun bestimme die Punkte $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ und berechne die Geradengleichungen. Übrigens: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist schon eine Gerade, also ist die Tangente genau?

23.09.2010, 21:27

minemäuschen

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die 1/2 kann ich doch jettz in f(x) und g(x) einsetzen um jeweils den y-Wert herraus zu bekommen oder?

23.09.2010, 21:29

system-agent

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Das musst du sogar Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

23.09.2010, 21:33

minemäuschen

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ok dann ist das jetzt f(1/2)=1/2 und g(1/2)=(1/2)²
= 1/4
daraus folgt, dass P(1/2|1/2) ist und Q(1/2|1/4) ist

und jetzt weiter? oder bin ich fertig?

23.09.2010, 21:35

system-agent

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Die Punkte sind OK.

Zitat:

Original von minemäuschen
oder bin ich fertig?

Dann mach dir ersteinmal klar was wir bisher gemacht haben und warum. Was hast du nun also für Resultate?

Die Aufgabe verlangt die Tangenten anzugeben.

23.09.2010, 21:37

minemäuschen

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Ich habe jetzt die beiden Koordinaten der parallelen Tangenten also einen Punkt davon jedenfalls. Jetzt müsste ich doch nur noch die Tangentensteigung ausrechnen oder?

23.09.2010, 21:42

system-agent

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OK, dann mache ich das nochmal:
Du hast eine Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bestimmt derart, dass die Steigungen der beiden Funktionen an ebendieser Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genau gleich sind.
Die Punkte sind die Graphenpunkte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ an dieser Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Nun was ist denn die Steigung der Tangenten an der Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ? Wieso musst du dafür kein bischen mehr rechnen?
Wie lauten dann die beiden Tangenten an die Funktionsgraphen in den Punkten $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ?

23.09.2010, 21:45

minemäuschen

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die Steigung ist 1/2 weil ich das ja schon mit dem Gleichsetzen der Ableitungen ausgerechnet habe und die Ableitung die Steigung der Tangente in diesem Punkt angibt. und die 2. Frage verstehe ich nicht also ich habe doch P und Q und jetzt muss ich damit noch etwas mache? weil deren Steigung ist ja 1/2

23.09.2010, 21:53

system-agent

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Alles falsch.

Du hast eine Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gesucht derart, dass $\begin{eqnarray*} f'(a)=g'(a) \end{eqnarray*}$ gilt. Nun ist aber $\begin{eqnarray*} f'(x)=1 \end{eqnarray*}$ , also konstant. Was muss also $\begin{eqnarray*} f'(a) \end{eqnarray*}$ sein?

Punkte haben keine Steigung. Eine Gerade hat eine Steigung und man kann einer differenzierbaren Funktion eine Steigung andichten, aber keinem Punkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Wie ich schrieb kennst du nun die Steigung der betreffenden parallelen Tangenten und jeweils einen Punkt der Tangenten. Du sollst aber, nach Aufgabenstellung, die Gleichung angeben [zumindest verstehe ich das so].

23.09.2010, 21:57

minemäuschen

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f'(a)= 1weil sich ja nichts verändern kann smile

smile

ist die Steigung 1/2 oder habe ich da etwas falsch verstanden?
weil du ja meintest, dass alles falsch ist.
die Gleichung für g(a) könnte dann so sein: g(a)=1/2*a² wenn 1/2 die Steigung sein sollte

23.09.2010, 22:03

system-agent

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Wenn du immernoch glaubst dass die Tangentensteigung 1/2 ist, dann hast du tatsächlich etwas falsch verstanden.
--> $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Gerade, dh die Tangente an irgendeinem beliebigen Punkt an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist [also auch in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ] ?
--> Welche Steigung hat also diese Tangente?
--> Du hast also $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so bestimmt, dass die Tangente an die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ parallel zur Tangente an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist. Welche Steigung hat diese also?

Beachte nochmals die Tücke der Notation: Das " $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ " wird hier nicht als Variabel gesehen, sondern fest. Es ist ein Platzhalter für den gesuchten Wert, der in der Aufgabenstellung verwendet wird um dir die Lösung nicht gleich zu verraten Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Nun mit allem Obigen, wie muss die Gleichung der Tangente an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ lauten [das geht ohne rechnen]?

Nun musst du noch die Tangentengleichung [=Geradengleichung] für die Tangente an $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

23.09.2010, 22:09

minemäuschen

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*schrei*
ich bin blöd.
Also ganz langsam:
f(a)=1 oder? ich habe gerade keinen Plan.
weil ich ja nix habe was ich einsetzen könnte.
die Steigung von g =die Steigung von f und P und Q liegen paralell zueinander.
Wieso ist a keine Variable, muss ich es überhaupt nicht ersetzen sondern weiter verwenden?

23.09.2010, 22:21

minemäuschen

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och nee ... *Zwei Synapsen haben sich gefunden*
wenn a keine Variable ist brauche ich es gar nicht mehr sondern kann a dann einfach weg lassen oder? also g(a)=1/2²

24.09.2010, 16:44

system-agent

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Zitat:

Original von minemäuschen
f(a)=1 oder? ich habe gerade keinen Plan.

Ja.

Wie schon gesagt, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist hier nur der Name für diese in der Aufgabenstellung gesuchte Stelle. Man kann ja schlecht schreiben "Finde die Stelle, die gerade bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist derart, dass...".
Damit es eine Aufgabe ist muss man es dir überlassen dies zu finden.
Deshalb tauft die Aufgabe die zu findende Stelle einfach mal $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Sobald du weisst, dass die gesuchte Stelle bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist, bedeutet das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nichts weiter als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Nicht mehr und nicht weniger.

Nun beantworte zuerst einmal meine Fragen aus dem vorigen Beitrag, dann siehst du schon was kommt.

Übrigens: $\begin{eqnarray*} g(a) \end{eqnarray*}$ bedeutet nichts weiter als $\begin{eqnarray*} g\left(\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ und das hast du schon ausgerechnet als du die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ berechnet hast.

25.09.2010, 16:49

minemäuschen

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laut meinem Mathelehrer war die Aufgabe nach dem Berechnen von 1/2 schon gelöst. Man musste die Punkte noch nicht mal angeben, geschweige denn eine Funktion.

25.09.2010, 20:22

system-agent

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OK, dann hat der eine sehr merkwürdige Auffassung der Aufgabe. Da steht nämlich, dass man die Tangenten angeben soll. Eine Zahl ausrechnen hat mMn nicht so viel mit der anzugebenden Tangenten zu tun. Aber sei es drum.

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