Kombinatorik Kartenspiel

23.09.2010, 21:48

Floyd

Kombinatorik Kartenspiel

Hallo liebe Mathefreunde

habe hier eine Aufgabe und wollte gern wissen, ob meine Gedanken richtig sind. WÜrd mich über Feedback freuen.

Aufgabe:

(1) Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden gleichzeitig 3 Karten gezogen. Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich, wenn....

a) keine weiteren Bedingungen vorliegen
b) drei Buben gezogen werden
c) kein Bube gezogen wird
d) höchstens ein Bube gezogen wird
e) nur Herz gezogen wird
f) mindestens zwei Herz gezogen werden soll
g) weder Herz noch Bube gezogen wird
h) entweder 3 Herz oder 3 Buben gezogen werden
i) 3 Karten gleicher Farben gezogen werden
k) 3 Karten unterschiedlicher Farbe gezogen werden
l) 3 Karten derselben Werte gezogen werden

Nun zu meiner inhaltlichen Irritation. Ich soll die Aufgabe an sich so lösen, wie sie da steht und dann soll ich die Aufgabe gemäß zweier anderen Aufgabenstellungen lösen, die ich mit (2) und (3) kennzeichne:

(2) Nun erfolgt das Ziehen hintereinander ohne Zurücklegen
(3) Nun erfolgt das Ziehen hintereinander mit Zurücklegen

Zu meiner Irritation. Wenn ich die Karten gleichzeitig ziehe, dann ziehe ich doch automatisch gemäß Aufgabe (2) ohne zurücklegen. ALso für mich wären die Ergebnisse von Aufgabe (1) und Aufgabe (2) idetisch !!!! Oder wie soll ich sie verstehen?

Folglich kann ich nur meine Lösung für die Aufgabe (2) und (3) präsentieren:

Aufgabe (2) - ohne Zurücklegen:

$\begin{eqnarray*} a) \begin{pmatrix} 32 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 31 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 30 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = 29760 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = 24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \begin{pmatrix} 28 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 27 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 26 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = 19656 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) \begin{pmatrix} 28 \\ 2 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 28 \\ 3 \\ \end{pmatrix} = 22680 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e) \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 24 \\ 2 \\ \end{pmatrix} = 4416 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f) \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 24 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ \end{pmatrix}= 1856 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g) \begin{pmatrix} 24 \\ 3 \\ \end{pmatrix} = 7980 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h) \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ \end{pmatrix} = 234 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i) \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ \end{pmatrix}*3 = 1008 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} j) \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix}*4 = 2048 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l) \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ \end{pmatrix}*8 = 192 \end{eqnarray*}$

Aufgabe (3) - mit Zurücklegen:

$\begin{eqnarray*} a) \begin{pmatrix} 32 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 32 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 32 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = 32768 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = 64 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \begin{pmatrix} 28 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 28 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 28 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = 21952 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 28 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 28 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 28 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 28 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 28 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = 25088 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e) \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = 512 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f) \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 24 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 28 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 28 \\ 1 \\ \end{pmatrix}= 2048 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g) \begin{pmatrix} 21 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 21 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 21 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = 9261 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h) \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = 407 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i) \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{pmatrix}*3 = 1536 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} j) \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ \end{pmatrix} *4 = 1344 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l) \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix}*8 = 512 \end{eqnarray*}$

23.09.2010, 22:41

wisili

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RE: Kombinatorik Kartenspiel

Zitat:

Original von Floyd
Zu meiner Irritation. Wenn ich die Karten gleichzeitig ziehe, dann ziehe ich doch automatisch gemäß Aufgabe (2) ohne zurücklegen. ALso für mich wären die Ergebnisse von Aufgabe (1) und Aufgabe (2) idetisch !!!!

Ja, so ist es. Die Lösung von 1a = 2a ist somit: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 32 \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

24.09.2010, 11:14

uzii

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Meinst du wirklich dass dei ordnung, in der die karten gezogen werden spielt eine rolle?

24.09.2010, 13:17

wisili

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Nein, eben nicht.

24.09.2010, 14:06

uiziuz

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Bei mir ist es so:
ohne zurücklegen -> Aufgabe 2 =identisch= Aufgabe 1
a)C(32,3) b)C(4,3) c)C(28,3); d)C(4,0)C(28,3)+C(4,1)C(28,2); e)stimmt C(8,1)C(24,2);
f)C(8,2)C(24,1)+C(8,3)C(28,0);g)C((32-8-3),3)= C(21,3);h)C(8,3)+C(4,3);i)stimmt 3*C(8,3);
k)stimmt 4*C(8,1)*C(8,1)*C(8,1); l)stimmt 8*C(4,3)
mit zurücklegen - hoffentlich kommt aber später

24.09.2010, 14:31

zutuz

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mit zurücklegen sollte das ganze gleich aussehen aber mit "D" anstatt "C", wird entsprechend auch anders kalkuliert
D(n,k)=C(n+k-1,k)=(n+k-1)!/k!/(n-1)!
Das ganze ohne jede garantie! bin auch ein anfänger Wink

24.09.2010, 15:56

wisili

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Ja, bei 3) nimmt man $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+k-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

24.09.2010, 18:06

René Gruber

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Es fehlt in der Aufgabenstellung der klare Hinweis, ob man als "Ergebnis" nur die drei gezogenen Karten (d.h. als Menge) betrachtet, oder auch noch deren Ziehungsreihenfolge (d.h. als Tripel) - vielleicht deswegen die Unterscheidung zwischen (1) und (2) ? Aber das hätte nun wirklich im Text etwas deutlicher sein können!

In deinen Lösungen, Floyd, geht es in dieser Hinsicht bunt gemischt zu: Mal berücksichtigst du die Ergebnisreihenfolge, mal nicht, und sehr oft weder noch (also in beiden Interpretationsvarianten falsch).

24.09.2010, 19:48

Floyd

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Ehrlich gesagt finde ich die Aufgabenstellung nach wie vor irritierend.. Es muss ja einen Unterschied geben, sonst würde die Aufgabe nicht so gestellt worden sein....

Bzgl: Rene Gruber

Rene kannst du mir denn genau sagen, welche definitiv falsch sind? Ehrlich gesagt hängt mir das Thema schon wirklich zum Hals raus - mit den anderen Themenbreiche wie Analysis und analytische Geometrie komme ich ganz gut zurecht, aber Stochastik bereitet mir Kopfzerbrechen.

Nichtsdestotrotz will ich es verstehen und würd mich freuen, wenn man mich auf meine Fehler aufmerksam macht. Danke

28.09.2010, 01:28

Floyd

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Also, ich habe mir mal das jetzt nochmals alles genauer angeschaut, insbesondere die Aufgabenstellung:

Und frage euch, ob ihr auch der Meinung seit:

(1) Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden gleichzeitig 3 Karten gezogen. Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich, wenn....

diese Aufgaben Stellung interpretiere ich nun so, dass wir es mit einem Spiel "ohne zurücklegen" und "ohne Beachtung der Reihenfolge" zu tun haben. Das Singnalwort, welches mich zu dieser Erkenntnis veranlasst, ist "gleichzeitig" in der Aufgabenstellung.

Hingegen sind muss man bei den Aufgabenstellungen (2) und (3) die Reihenfolge beachten werden, da dort "hintereinander" gezogen wird!

Sehe ich das nun richtig?

28.09.2010, 01:54

Floyd

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Wenn ich nun meine Ergebnisse betrachte und davon ausgehe, dass in der Aufgabenstellung (2) "ohne zurücklegen" bei Beachtung der Reihenfolge gespielt wird, dann habe ich lediglich das Ergebnis f ) und h) falsch, wobei ich mich bei f) vertippt habe.

Wieso behauptet uiziuz, dass lediglich nur e) , i) , k) und l) bei mir richtig seien, wenn ich die anderen Tupel genauso habe wie er ?????

Hingegen habe ich wohl desöfteren vergessen bei Aufgabe (3) die Reihenfolge zu brücksichtigen.

Aber wieso soll ich bei Aufgabe (3) diese Formel benutzen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+k-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wenn doch die Reihenfolge garnicht relevant ist????

--> Irgendwie bin ich jetzt totall verwirrt. Ich habe mich durch zahlreiche Internetseiten geforstet und herausgefunden, dass "gleichzeitiges" ziehen - ohne zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge entspricht.

--> Folglich muss doch rein von der Logik "hintereinander" ziehen, mit Berücksichtigung der Reihenfolge heißen oder nicht???? Ansonsten hätten auch die 3 Aufgaben keinen Sinn, wenn ´nun nicht bei (2) und (3) die Reihenfolge differenziert werden würde.....

28.09.2010, 08:58

wisili

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Es lohnt sich nicht, das Leben mit ungenau formulierten Aufgaben zu vertrödeln.
(Oder man löst bei ungeklärten Alternativen einfach beide Deutungsmöglichkeiten.)

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