JNF über Hauptvektoren berechnen

23.09.2010, 23:36	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
JNF über Hauptvektoren berechnen Hallo. Ich möchte eine JNF berechnen und zwar über Hauptvektoren. Ich komme aber leider auf keinen grünen Zweig... Die Matrix ist $\begin{eqnarray} A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ . Was ich bisher habe: Charakteristisches Polynom ist $\begin{eqnarray} P(T)= -(T-1)^3 \end{eqnarray}$ , also ist 1 der einzige Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 3. Betrachte das LGS $\begin{eqnarray} (A-I)x=0 \end{eqnarray}$ . dimL=n-rk=2, also die Dimension des Lösungsraums=Eigenraums ist 2, also gibt es zwei Jordankästchen, die Jordannormalform müsste also die Gestalt haben $\begin{eqnarray} J=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ . Wo ich nicht weiterkomme: Jetzt möchte ich die Transformationsmatrix S bestimmen. Durch das LGS $\begin{eqnarray} (A-I)x=0 \end{eqnarray}$ erhalte ich zwei linear unabhängige Eigenvektoren $\begin{eqnarray} v_1=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right), v_2=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ . Jetzt fehlt mir noch ein Vektor für die Matrix S. Das ist ein Hauptvektor h, der sich aus $\begin{eqnarray} (A-I)h=v_1 \end{eqnarray}$ ergibt. So ein h könnte sein: $\begin{eqnarray} h=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ . Wenn ich nun $\begin{eqnarray} v_1, v_2, h \end{eqnarray}$ in die Matrix S eintrage, ist sie singulär. Wo liegt der Fehler? Ich glaube, dass es am Hauptvektor liegen müsste, aber WIE? Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar, lg frieder
23.09.2010, 23:54	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das sieht man auf den ersten Blick, dass die 3 Vektoren nicht linear unabhängig sind. Insbesondere gilt $\begin{eqnarray} (A-I)h=0 \end{eqnarray}$ . Das ist kein Hauptvektor... edit: Naja, ist er doch, aber Stufe 1 und das ist nicht Sinn der Sache...
24.09.2010, 00:16	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ok, dass meine Lösung nicht stimmt, das weiß ich schon. Kannst du mir vielleicht helfen, wies geht? Ich weiß leider nicht, wie ich auf die Lösung komme. lg frieder
24.09.2010, 00:26	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (A-I)(A-I)h=0 \end{eqnarray}$ gilt für jeden Vektor, d.h. jeder Vektor ist Hauptvektor der Stufe 2. Du musst nur einen Vektor wählen, der linear unabhängig zu den beiden anderen ist.
24.09.2010, 00:51	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann wähle ich einfach mal als Hauptvektor: $\begin{eqnarray} h=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ . Dann ergibt $\begin{eqnarray} S^{-1} A S=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ , was offensichtlich keine JNF ist. woran liegts?
24.09.2010, 00:54	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es jetzt so gemacht: Ich habe einfach $\begin{eqnarray} u_1=(1,0,0)^T \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} u_2=(A-I)u_1=(1,-1,-1)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_3=(0,1,0)^T \end{eqnarray}$ gewählt. Dann bekomme ich $\begin{eqnarray} Q^{-1} A Q=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ . Wer die $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ oben haben will, muss $\begin{eqnarray} u_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_2 \end{eqnarray}$ vertauschen. ---- Anscheinend reicht es nicht, dass man beliebige Eigen- bzw. Hauptvektoren wählt. Ich probiere immer aus... ---- Ah, mir fällt was auf: $\begin{eqnarray} (A-I)\cdot\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right)=1 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)+(-1)\cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ ---- Einerseits ist: $\begin{eqnarray} AS=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right)\cdot\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right)=IS+\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ . Andererseits ist: $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right)\cdot\left( \begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \end{array}\right)= a\cdot \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \\ -1 \end{array} \right) +b\cdot \left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 0 \end{array} \right) +c\cdot \left( \begin{array}{c} 1\\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ . Und nun soll $\begin{eqnarray} SJ=AS \end{eqnarray}$ sein! Klar, dass das bei dir da raus kam... Das muss wohl doch immer eine Jordankette sein...
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24.09.2010, 17:18	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
So, ich habe mir das noch einmal überlegt. Du hast durch Lösen von $\begin{eqnarray} (A-I)x=0 \end{eqnarray}$ zwei linear unabhängige Eigenvektoren $\begin{eqnarray} v_1=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right), v_2=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ erhalten. Dann hast du mittels $\begin{eqnarray} (A-I)h=v_1 \end{eqnarray}$ einen Hauptvektor h gesucht. Eine Lösung wäre in der Tat genau das, was du für die Transformation brauchst. Allerdings hast du dich verrechnet. Dein Ergebnis ist keine Lösung. Schlimmer noch es gibt gar keine Lösung! Weder $\begin{eqnarray} (A-I)h=v_1 \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} (A-I)h=v_2 \end{eqnarray}$ besitzen eine Lösung. Das ist allerdings auch nicht verwunderlich. Die Dimension des Eigenraums von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ . Die Dimension des Bildes von $\begin{eqnarray} (A-I) \end{eqnarray}$ ist entsprechend nur $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Es muss also ziemlich viele Vektoren geben, auf die nicht abgebildet wird - $\begin{eqnarray} v_1, v_2 \end{eqnarray}$ gehören dazu. Aus meiner Sicht das Einfachste ist daher: Zunächst eine Basis des Kerns von $\begin{eqnarray} (A-I)^2 \end{eqnarray}$ suchen. Das ist einfach, denn das ist die Nullmatrix. Der Vektor der von $\begin{eqnarray} (A-I) \end{eqnarray}$ nicht auf $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ abgebildet wird, ist dein Hauptvektor. Sein Bild unter $\begin{eqnarray} (A-I) \end{eqnarray}$ ist dein erster Eigenvektor. Der zweite Eigenvektor ist leicht zu finden.

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