Reihe, Cosinus

24.09.2010, 15:17

TommyAngelo

Reihe, Cosinus

Seid gegrüßt,
nachdem ich bei der letzten Aufgabe, die ich hier reingestellt hab, nicht ganz durchgeblickt habe, versuche ich es erst mal mit einer leichteren:

[attach]16098[/attach]

Ich habe das Gefühl, dass an der oberen Formel etwas nicht stimmt.

Zur (ii): Da $\begin{eqnarray*} (-1)^n \cos(n\pi)=1 \end{eqnarray*}$ , kann ich bei der (i) $\begin{eqnarray*} x=\pi \end{eqnarray*}$ setzen.

Dann steht da: $\begin{eqnarray*} \pi^2 = \frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{2}{3}\pi^2 \end{eqnarray*}$

Das stimmt aber nicht. Ein falsches Ergebnis bekommt man auch, wenn man die 2. Gleichung hernimmt:
Da $\begin{eqnarray*} (-1)^n \cos(n \cdot 0)= (-1)^n \end{eqnarray*}$ , kann ich $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ setzen:

$\begin{eqnarray*} 0= \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} \end{eqnarray*}$

Stimmt aber auch nicht.

Was ist also falsch?

24.09.2010, 15:50

schultz

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also ich habe in meinen aufzeichnungen in der oberen formel noch eine 4 als faktor in der summe stehen...

24.09.2010, 16:10

Cel

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RE: Reihe, Cosinus

Zitat:

Original von TommyAngelo
(Gibt es eine Möglichkeit, dass das Bild sofort im Thread erscheint und nicht erst dieser Link?)

Ja, du musst es als Dateianhang hier im Forum hochladen.

Edit: Bei der 4 in der Summe stimme ich übrigens zu.

24.09.2010, 16:15

wisili

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RE: Reihe, Cosinus
-- zu spät

24.09.2010, 16:30

TommyAngelo

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Dann könnte man es auch so hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(nx)}{n^2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt bin ich am Überlegen, wie man dies zeigt.

24.09.2010, 16:54

schultz

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das kommt aus der fourierentwicklung von f(x)=x².kennst du dich mit fourierreihen aus?

24.09.2010, 17:04

TommyAngelo

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Na ja, so gut wie gar nicht.

24.09.2010, 17:14

schultz

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naja dann wird das mit dem beweis wohl solange warten müssen, bis du das im studium behandelst oder so Augenzwinkern

oder vieleicht weiß jemand anders einen weg, wie man es anders zeigen kann...

24.09.2010, 17:27

Leopold

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@ TommyAngelo

Für solche Formeln gibt es viele Beweismethoden. Welche die für dich passende ist, hängt davon ab, im Rahmen welcher Vorlesung oder Übung diese Aufgabe gestellt wurde. Solange du überhaupt nichts über den Kontext der Aufgabe mitteilst, kann man dir nicht helfen.

In einer Vorlesung über Fourier-Reihen sitzt du anscheinend gerade nicht. Aber was dann? Funktionentheorie? Analytische Zahlentheorie? ... ?

Sag doch einfach einmal, was das Thema der letzten drei Wochen war. Möglicherweise ist diese Formel dann nur ein Korollar einer andern, die ihr gerade behandelt habt.

25.09.2010, 01:07

TommyAngelo

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Sagen wir's so: Es ist Analysis II. Die Aufgabe ist vom Mai oder Juni. Ich war das ganze Semester lang weder in den Vorlesungen noch in den Übungen, weil ich mein Abi hatte. Nun versuche ich es mir, so gut es geht, selbst beizubringen. Am 15.10. ist die Prüfung. Also in welchem Zusammenhang das war, kann ich nicht sagen. Es scheint wohl eine Eigenart des Professors zu sein, alle möglichen Themenbereiche zusammenzuwerfen. Er kommt ja eigentlich von der Physik und lehrt aber auch ein bisschen Mathe. Normalerweise baut man ja eins nach dem andern auf, aber bei ihm ist es nicht der Fall.

25.09.2010, 01:25

schultz

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also ich hatte dieses semester in analysis II Fourierreihen, kann also gut möglich sein dass es damit in zusammenhang steht.kannst du höchstens mal ins skript deines professors schaun

25.09.2010, 01:30

TommyAngelo

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Jo, also Fourierreihen sind da auch drin.

25.09.2010, 14:00

schultz

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dann wird das wohl auch daher kommen...kannst dich ja mal einlesen, und wenn du fragen hast kannst du hier gleich nachfragen.

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