Isometrie zeigen

24.09.2010, 15:36	akasharishi	Auf diesen Beitrag antworten »
Isometrie zeigen Die Abbildung $\begin{eqnarray} T:l^1->(l^\infty)'\quad (Tx)(y)=\sum_{k=1}^\infty s_nt_n \end{eqnarray}$ ist isometrisch! Für $\begin{eqnarray} x\in l^1 \end{eqnarray}$ beliebig ist $\begin{eqnarray} \|x\|_1=\sum_{k=1}^\infty\|s_n\|=\|\sum_{k=1}^\infty\pm sign(s_n) s_n\|=\sup_{\|y\|_\infty=1}\|\sum_{k=1}^\infty t_ns_n\|=\|Tx\| \end{eqnarray}$ . Stimmt das so und wie könnte man das noch eleganter hinschreiben? Gruß Rishi
24.09.2010, 15:54	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Von der Idee her dürfte das stimmen. - Deine Indizes müssten $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sein. - Wieso $\begin{eqnarray} \pm sgn \end{eqnarray}$ ? - Die Bezeichnungen sind unkonventionell. Ohne den Beweis zu kennen, würde man bei $\begin{eqnarray} (Tx)(y)=\sum_{k=1}^\infty s_kt_k \end{eqnarray}$ fragen, was $\begin{eqnarray} s_kt_k \end{eqnarray}$ sind.
25.09.2010, 11:57	akasharishi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung $\begin{eqnarray} T:l^1->(l^\infty)'\quad (Tx)(y)=\sum_{k=1}^\infty s_kt_k \end{eqnarray}$ ist isometrisch! Für $\begin{eqnarray} x\in l^1 \end{eqnarray}$ beliebig ist $\begin{eqnarray} \|x\|_1=\sum_{k=1}^\infty\|s_k\|=\|\sum_{k=1}^\infty\pm sign(s_k) s_k\|=\sup_{\|y\|_\infty=1}\|\sum_{k=1}^\infty t_ks_k\|=\|Tx\| \end{eqnarray}$ . Hallo Danke für deine Antwort! Ja wenn $\begin{eqnarray} \|y\|_\infty=1 \end{eqnarray}$ sein soll sind nur Folgen mit $\begin{eqnarray} \|t_k\|\le 1 \end{eqnarray}$ drin und die Summe der $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty t_ks_k \end{eqnarray}$ wird am Größten, wenn man diejenige nimmt die aus 1 und -1 besteht genau so das dadurch alle s_k positiv gemacht werden. Deshalt die Signumfunktion....um zu berücksichtigen das dei s_k auch negativ sein können und dann t_k eben auch negativ sein muss. +- weil ja der Betrag davon das Supremum sein soll, was er auch ist wenn die Summe am Kleinsten wird! Kurz gesat man wählt $\begin{eqnarray} t_k=\pm sign(s_k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (s_k)_{k\in N}=x \end{eqnarray}$ so war das gemeint...s_k sind also die einzelnen Folgeglieder! Gruß Rishi
25.09.2010, 15:12	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur mal so ein Vorschlag: Wie wäre es denn mit $\begin{eqnarray} t_k= \operatorname{sign}(s_k) \end{eqnarray}$ ohne das $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ ? Du wirst doch selbst darauf kommen, dass $\begin{eqnarray} \{\operatorname{sign}(s_k)s_k,- \operatorname{sign}(s_k)s_k\}=\{s_k,- s_k\} \end{eqnarray}$ ist...
26.09.2010, 12:00	akasharishi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das weiß ich....ja und? Was willst du mir damit sagen? Ich meine mit meiner Schreibweise bloß außführlich aufgeschrieben $\begin{eqnarray} \sup_{\|y\|_\infty=1}\|\sum_{k=1}^\infty s_k t_k\|=\|\sum_{k=1}^\infty sign(s_k)s_k \|=\|\sum_{k=1}^\infty -sign(s_k)s_k \| \end{eqnarray}$ sign(s_n) und -sign(s_n) sind 2 verschiedene Folgen mitdenen ich das Supremum erreichen kann...das wollte ich damit sagen! Also nicht bei jedem Glied $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ sondern bezogen auf die ganze Folge $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ ....Aber stimmt, ist eig unnötiger Ballast!
26.09.2010, 16:51	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das ist richtig. Du hättest genauso gut $\begin{eqnarray} t_k= -\operatorname{sign}(s_k) \end{eqnarray}$ nehmen können. Aber ich würde mich für eine Folge entscheiden. Wie oft das Supremum angenommen wird ist doch völlig egal. Mit $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ erscheint mir das formal unpräzise und damit missverständlich.
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