Null(A), range(A) einer Matrix A??

24.09.2010, 17:10

Peter12345

Null(A), range(A) einer Matrix A??

Meine Frage:
Hey,

gegeben ist eine Matrix A:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Was ist das Ergebnis von Null(A) und range(A)?
Weiß noch nicht mal was mit beiden gemeint ist...habe nur eine englische Erklärung gefunden: http://sitemaker.umich.edu/gblekher/files/Answers3.pdf

Zweite Frage: Ist A ein orthogonaler Projektor? Wenn ja, wie krieg ich das raus?

Danke...

ciao Peter

Meine Ideen:
ich denke:

range(A) = C^{2} oder C^{1}
null(A) = 0

bzgl. des orthogonalen Projektors hab ich kein Plan...Ich würde prüfen ob die Matrix orthogonal ist...als einfach das Skalarprodukt der Spaltenvektoren bilden und schauen ob 0 rauskommt?

24.09.2010, 17:47

Cugu

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Zitat:

null(A) = 0

Ziemlich gewagte Notation dafür, dass du die Begriffe nachschlagen musst...
Schreib am Anfang lieber $\begin{eqnarray*} \operatorname{null}(A)=\{0\} \end{eqnarray*}$ . Das sind nämlich Mengen.

$\begin{eqnarray*} \operatorname{range(A)} = \mathbb{C}^{2} \end{eqnarray*}$ klingt gut. Aber warum? Und warum ist das andere Quatsch?

Was muss denn nach Definition für einen orthogonalen Projektor gelten?

edit:
Falls du mit dem Englischen Probleme hast, such nach Bild und Kern!

25.09.2010, 01:05

Peter12345

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Ok...ich habr gerade gesehen, dass die Matrix nicht richtig dargestellt wird. Hier also nun richtig:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, dass $\begin{eqnarray*} C^{1} \end{eqnarray*}$ deshalb Quatsch ist, da es ja nur eine Zahl wäre. Nach der englischen Definition gilt aber für "range", dass für

Ax = v

für alle v eine Lösung für x existiert. Die Menge von "v" ist dann die "range" und die muss zweidimensional sein, sonst könnte sie ja nicht Ergebnis dieser Multiplikation sein. Sehe ich das richtig?

Bezüglich des orthogonalen Projektors habe ich nicht die leiseste Ahnung. Die Erklärungen im Netz verwirren mich nur.

Ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{null}(A)=\{0\} \end{eqnarray*}$ korrekt? Wenn ja was bedeutet es eigentlich genau. Ich finde im Netz nur, dass es trivial ist!?

Danke für eure Mühen...

25.09.2010, 01:24

Cugu

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Wir müssen beim Begriff zweidimensional aufpassen!

Aber im Grund hast du Recht: Wenn ich die Matrix mit einem Vektor multipliziere, kann keine komplexe Zahl herauskommen.

Das Bild (range) von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist die Menge $\begin{eqnarray*} \{Ax\in \mathbb C^{2}: x\in \mathbb C^{2}\} \end{eqnarray*}$ . Das sind alles Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{2} \end{eqnarray*}$ .
Es ist also auf jeden Fall eine Teilmenge dieses zweidimensionalen Vektorraums. Dennoch kann das Bild selbst als Unterraum eine kleinere Dimesion haben.

Das ist hier aber nicht der Fall. Das Bild ist der gesamte $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{2} \end{eqnarray*}$ .
Woran liegt das? Naja, jeder Vektor wird auf sich selbst abgebildet, hat also sich selbst als Urbild.

Der Kern (null) hingegen enthält nur den Nullvektor, denn
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und folglich müssten $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ sein.
(Der Kern ist die Menge der Vektoren, die auf 0 abgebildet werden.)

Nebenbei:
$\begin{eqnarray*} \mathbb C^{1}=\mathbb C \end{eqnarray*}$ ist keine Zahl, sondern die Menge der komplexen Zahlen.

25.09.2010, 10:53

Peter12345

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OK...Wie würde das bei folgender Matrix aussehen?:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich doch eine unendliche Menge für den Kern? Also x1 = 0 und x2 = $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ !? Ist das richtig?

Für das Bild habe ich im Netz noch gefunden, dass die Spaltenvektoren linear unabhängig von einander sein müssen und die Summe aus beiden multipliziert mit einem beliebigen Koeffizienten ergibt dann die Lösungsmenge für das Bild!? So:

Bild(A) = $\begin{eqnarray*} \left\{r*\begin{pmatrix} a11 \\ a21 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} a12 \\ a22 \end{pmatrix}: r,s\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich aber nicht ob ein Nullvektor linear unabhängig von einem anderen Vektor sein kann? Einerseits kann ich ihn nicht multiplizieren, aber anderseits liegt er zwangsläufig in der selben Ebene und müsste demnach doch linear abhängig sein? Gibts da eine Definition?

Im Falle, dass er linear unabhängig ist müsste wieder gelten: Bild(A) = $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{2} \end{eqnarray*}$ ?

Ist in diesem Fall A ein orthogonaler Projektor?

25.09.2010, 17:27

Cugu

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Zitat:

Dann habe ich doch eine unendliche Menge für den Kern? Also x1 = 0 und x2 = $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ !? Ist das richtig?

Inhaltlich ja. Den Kern könnte man als $\begin{eqnarray*} \mathbb C \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\left\{r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} : r\in \mathbb C \right\} \end{eqnarray*}$ schreiben, d.h. $\begin{eqnarray*} x_2 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Nun weiß ich aber nicht ob ein Nullvektor linear unabhängig von einem anderen Vektor sein kann?

Der Nullvektor allein ist nicht einmal linear unabhängig!

Aber das dürfte völlig egal sein. Das hier stimmt natürlich auch:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Bild}(A) =\left\{r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}: r,s\in \mathbb C \right\}=\mathbb C \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\mathbb C \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aber die überflüssigen Vektoren sollte man weglassen. Sonst gewinnt man ja keine Information:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Bild}(A) =\left\{r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} : r\in \mathbb C \right\}=\mathbb C \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder (besser die zugehörige Abbildung) eine Projektion/ ein Projektor.

Und da einerseits das Bild die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse ist und andererseits die Vektoren $\begin{eqnarray*} x-Ax=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
orthogonal zur $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse sind, kann man von einer orthogonalen Projektion auf die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse sprechen.

Die Matrix selbst ist allerdings keinesweg orthogonal!

25.09.2010, 18:31

Peter12345

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OK...dann noch eine kleine Frage zur Notation. Noch einmal die erste Matrix:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} Bild(A) = \left\{ r*\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} : r,s\in \mathbb C\right\} \end{eqnarray*}$

Oben hast du für die Lösungsmenge folgende Notation verwendet:

$\begin{eqnarray*} \{Ax\in%20\mathbb%20C^{2}:%20x\in%20\mathbb%20C^{2}\} \end{eqnarray*}$

das heißt ja letztendlich nichts anderes als das x ein zweidemensionaler Vektor ist, der alle Werte aus C annehmen kann oder? Mir gehts jetzt speziell darum was $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{2} \end{eqnarray*}$ bedeutet?

Für die zweite Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ könnte ich demzufolge ebenfalls $\begin{eqnarray*} Bild(A) =\{Ax\in%20\mathbb%20C^{2}:%20x\in%20\mathbb%20C^{2}\} \end{eqnarray*}$ schreiben?

25.09.2010, 19:31

Cugu

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Ja, das Bild für die Einheitsmatrix stimmt.

Zitat:

das heißt ja letztendlich nichts anderes als das x ein zweidemensionaler Vektor ist, der alle Werte aus C annehmen kann oder? Mir gehts jetzt speziell darum was $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{2} \end{eqnarray*}$ bedeutet?

Genau, das ist der Vektorraum, der aus geordneten Paaren der komplexen Zahlen besteht. Also gibt es zwei Einträge und das können jeweils beliebige Werte sein.

Zitat:

Für die zweite Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ könnte ich demzufolge ebenfalls $\begin{eqnarray*} Bild(A) =\{Ax\in%20\mathbb%20C^{2}:%20x\in%20\mathbb%20C^{2}\} \end{eqnarray*}$ schreiben?

Ja, klar. So ist das Bild der Matrix definiert. Nur ist die rechte Seite in dem Fall nicht der ganze Vektorraum und die linke folglich auch nicht.

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