Vollständige Induktion

24.09.2010, 18:10

Carsh

Vollständige Induktion

Ich mache gerade einen Beweis mit Vollständiger Induktion.

Ich muss von 2- (n+2)/(2^(n+1)) auf 2- (n+3)/(2^(n+1)) kommen und weiß nicht wie ich das umformen kann.

24.09.2010, 18:12

Carsh

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Ich mache gerade einen Beweis mit Vollständiger Induktion.

Ich muss von 2- (n+2)/(2^(n+1))+((n+1)/2^(n+1)) auf 2- (n+3)/(2^(n+1)) kommen und weiß nicht wie ich das umformen kann.

Hier habe ich die Aufgabe noch einmal korrigiert.

24.09.2010, 18:17

Cugu

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Das hier $\begin{eqnarray*} 2- \frac{n+2}{2^{n+1}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2- \frac{n+3}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ ?

Das ist falsch...

24.09.2010, 18:24

Carsh

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Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie mit vollständiger INduktion:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}} = 2- \frac{n+2}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

So bin ich auf den Term gekommen und versuche die Aufgabe zu lösen.

Und da

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^{k}} = 2- \frac{n+3}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

ist muss ich ja von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}} = 2- \frac{n+2}{2^{n}} + \frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} 2- \frac{n+3}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

kommen

24.09.2010, 18:34

Cugu

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^{k}} = \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}}\right)+\frac{n+1}{2^{n+1}}=^{IV} 2- \frac{n+2}{2^{n}} + \frac{n+1}{2^{n+1}}<br /> =2- \frac{2(n+2)}{2^{n+1}} - \frac{(-n)+(-1)}{2^{n+1}}=2- \frac{2n-n+4-1}{2^{n+1}} <br /> \end{eqnarray*}$

edit:
bei dir stand im zweiten Beitrag eine $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ zuviel

24.09.2010, 18:40

Carsh

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Danke für die Antwort.

Ich bin jetzt schon 3 Jahre aus der Mathematik raus, deshalb verstehe ich nicht ganz warum der 2. Term beim erweitern des anderen Negativ wird?

24.09.2010, 18:46

Cugu

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Es geht um disen Schritt, oder?

$\begin{eqnarray*} 2- \frac{n+2}{2^{n}} + \frac{n+1}{2^{n+1}} =2- \frac{2(n+2)}{2^{n+1}} - \frac{(-n)+(-1)}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Dies erhält man durch Erweitern:
$\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{2^{n}} =\frac{2(n+2)}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Und das hier gilt vereinfacht gesagt, weil Minus mal Minus Plus ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2^{n+1}}=(-1)\cdot \frac{-(n+1)}{2^{n+1}} = - \frac{(-n)+(-1)}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

24.09.2010, 18:49

Carsh

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Ok, weil minus mal minus plus ist ändere ich nix an dem eigentlichen Term sondern mache mir das zu nutze um auf mein Ergebnis zu kommen?

24.09.2010, 18:51

Cugu

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Welches ist der eigentliche Term?

24.09.2010, 18:54

Carsh

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diesen meinte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

weil ich kann ja vorher sehen auf welches Ergebnis ich kommen muss.

24.09.2010, 18:57

Cugu

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Man hat ja
$\begin{eqnarray*} 2- \frac{2n+4}{2^{n+1}} + \frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ .
Die letzten beiden Terme möchte man zusammenfassen. Und da muss man eben auf das Vorzeichen achten.

$\begin{eqnarray*} a-b+c=a-(b-c) \end{eqnarray*}$

Das heißt man muss im Zähler $\begin{eqnarray*} 2n+4-(n+1)=2n-n+4-1=n+3 \end{eqnarray*}$ rechnen.

24.09.2010, 19:05

Carsh

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ok, jetzt habe ich es verstanden.

Das war genau der Knackpunkt warum ich an der Aufgabe gescheitert bin.

Vielen Dank für deine Hilfe, jetzt kann ich die anderen Aufgaben in der Art auch lösen.

24.09.2010, 19:52

Carsh

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So ich habe noch eine Aufgabe smile

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k2^{k} = 2+(n-1)2^{n+1} \end{eqnarray*}$

da ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k2^{k} = 2+n2^{n+2} \end{eqnarray*}$

und ich muss von:

$\begin{eqnarray*} 2+(n-1)2^{n+1} + (n+1)2^{n+1} \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} 2+n2^{n+2} \end{eqnarray*}$

Jetzt hänge ich an dieser Stelle:

$\begin{eqnarray*} 2+2^{n+1}+2^{n+1} \end{eqnarray*}$

man merkt, das es bei mir an den Grundrechenarten hapert...

24.09.2010, 20:01

Airblader

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Betrachte $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ einfach mal als eine Zahl. Nennen wir sie 'a'. Dann steht da

$\begin{eqnarray*} 2 + a + a \end{eqnarray*}$

Was ist denn a+a? Augenzwinkern

air

24.09.2010, 20:04

saz

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Zitat:

Original von Carsh

und ich muss von:

$\begin{eqnarray*} 2+(n-1)2^{n+1} + (n+1)2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt hast du dich verrechnet:

$\begin{eqnarray*} (n-1) \cdot 2^{n+1} + (n+1) \cdot 2^{n+1} \not= 2^{n+1} + 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

24.09.2010, 20:06

Carsh

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@saz: Sorry das war ein schreibfehler, hier ist die Rechnung nochmal korrekt aufgeführt.

2a smile

Aber dann habe ich irgendwo nen Wurm drin.

$\begin{eqnarray*} 2+n4^{n+1} \end{eqnarray*}$ kann ja nicht richtig sein...

Wenn ich von:

$\begin{eqnarray*} 2+(n-1)2^{n+1} + (n+1)2^{n+1} \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} 2+2n^{n+1} -2^{n+1}+2n^{n+1}+2^{n+1} \end{eqnarray*}$ umforme

dann komme ich zu:

$\begin{eqnarray*} 2+n(2^{n+1}+2^{n+1}) \end{eqnarray*}$

und ich muss ja zu

$\begin{eqnarray*} 2+n2^{n+2} \end{eqnarray*}$ kommen

24.09.2010, 20:08

saz

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Du wirfst immer zuviel durcheinander und kommst scheinbar auch jedes Mal auf ein anderes Ergebnis. Überlege dir nochmal ganz in Ruhe: Was ist

Zitat:

Original von Carsh

$\begin{eqnarray*} (n-1) \cdot 2^{n+1} + (n+1) \cdot 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

... wenn du es zunächst ausmultiplizierst und dann zusammenfasst? Um bei der Symbolik von oben zu bleiben: Was ist

$\begin{eqnarray*} (n-1) \cdot a+ (n+1) \cdot a \end{eqnarray*}$

24.09.2010, 20:16

Carsh

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ok

$\begin{eqnarray*} (n-1)*a+(n+1)*a = 2an \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (n-1)*2^{n+1}+(n+1)*2^{n+1} \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}*n-2^{n+1}+2^{n+1}*n+2^{n+1} = n4^{n+1} \end{eqnarray*}$

das geht aber immer noch nicht auf wenn ich jetzt richtig liege...

24.09.2010, 20:29

saz

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Hm ja, so geht es nicht. Was ist

$\begin{eqnarray*} 2^1 \cdot 2^{n+1} = 2 \cdot 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

Da schreit's nach Potenzgesetzen. Wenn es dir hilft, kannst du dir es ja an einem Beispiel überlegen:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2^4 = 2 \cdot 16 = 32 \not= 4^{4} \end{eqnarray*}$

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