Für jedes Polynom soll f(A) diagonalisierbar sein

25.09.2010, 00:28

gadreel

Für jedes Polynom soll f(A) diagonalisierbar sein

Es K ein Körper, 2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N undA $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} K^{n \times n} \end{eqnarray*}$ eine diagonalisierbare Matrix. Zeigen Sie, dass dann für jedes Polynom f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K[X] die Matrix f(A) auch diagonalisierbar ist.

Ich weis, dass die Potenz einer Diagonalmatrix, eine Matrix mit potenzierten Diagonalelementen ist. Außerdem müssten doch die Absolutglieder jeweils Vielfache der Einheitsmatrix sein oder? Bin ich ja auf dem richtigen Weg? Falls ja, wie schreibe ich das schön allgemein hin? :-) Ich bitte um Hilfe! ;-)

25.09.2010, 00:35

Cugu

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Rechne doch einfach mal los.
Setze z.B. $\begin{eqnarray*} f(X)=\sum_{k=0}^M a_k X^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q^{-1}AQ=D \end{eqnarray*}$ .
Und dann guckst du was herauskommt
$\begin{eqnarray*} Q^{-1}f(A)Q=... \end{eqnarray*}$

25.09.2010, 13:08

gadreel

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$\begin{eqnarray*} Q^{-1}f(A)Q=Q^{-1}(a_{0}+a_{1}A+...+a_{n}A^{n})Q=D \end{eqnarray*}$

Bin ich dann schon fertig?...

25.09.2010, 15:03

Cugu

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Das ist (i.A.) falsch...
Da wird mit Sicherheit nicht $\begin{eqnarray*} D=Q^{-1}AQ \end{eqnarray*}$ herauskommen!

25.09.2010, 15:11

gadreel

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Vielleicht stehe ich gerade auf der Leitung. Ich weis nicht was ich noch mit der Summe bzw. dem Inhalt der Klammer machen kann.

Was mir noch einfallen würde, wäre dass ich etwas umforme und dann auf das komme:

$\begin{eqnarray*} (a_{0}+a_{1}A+...+a_{n}A^{n})=QDQ^{-1} \end{eqnarray*}$

Aber das bringt mir doch auch nichts?

25.09.2010, 16:41

Cugu

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Ob das was bringt weiß ich nicht, aber das ist i.A. falsch!
Wie wäre es denn, wenn du dich darauf beschränkst gültige Rechengesetze zu verwenden statt irgendwas hinzuschreiben?

z.B. ist wegen Distributivität

$\begin{eqnarray*} Q^{-1}(B+C)Q=Q^{-1}BQ+Q^{-1}CQ \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} B, C, Q \in K^{n \times n}, Q \end{eqnarray*}$ invertierbar )

25.09.2010, 22:35

gadreel

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$\begin{eqnarray*} Q^{-1}a_{0}Q+Q^{-1}a_{1}AQ+...+Q^{-1}a_{n}A^{n}Q=D_{0}+...+D_{n} \end{eqnarray*}$

Irgendwie blicke ich da nicht ganz durch. Entweder es ist zu spät oder ich hab da nen Knoten im Kopf. Stimmt meine Schlussfolgerung?

25.09.2010, 23:06

Cugu

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Naja gut, du hast nicht viel mehr gemacht, als den Summanden der linken Seite Namen zu geben.

Warum sind denn $\begin{eqnarray*} D_0,...,D_n \end{eqnarray*}$ Diagonalmatrizen?

Unter anderen braucht man dafür diese Aussage:

Zitat:

Ich weis, dass die Potenz einer Diagonalmatrix, eine Matrix mit potenzierten Diagonalelementen ist.

Aber das allein reicht noch nicht...

25.09.2010, 23:56

gadreel

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$\begin{eqnarray*} Q^{-1}AQ=D \Leftrightarrow QDQ^{-1}=A \end{eqnarray*}$

Da A diagonalisierbar ist, kann ich das ja für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einsetzen. Dann kürzen sich $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q^{-1} \end{eqnarray*}$ weg und ich hab nur noch eine Summe von Diagonalmatrizen.

Stimmt das so?

26.09.2010, 00:19

Cugu

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$\begin{eqnarray*} Q^{-1}A^{k}Q=Q^{-1}AQ \cdot Q^{-1}AQ \cdot Q^{-1}AQ \cdot...\cdot Q^{-1}AQ =\left(Q^{-1}AQ\right)^{k}=D^k \end{eqnarray*}$
Ja, das stimmt. Je nachdem von welcher Seite aus man es betrachtet, kann man $\begin{eqnarray*} QQ^{-1} \end{eqnarray*}$ einschieben oder gegeneinander wegkürzen.
(Der formale Beweis erfolgt mittels Induktion über $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .)

Zitat:

Ich weis, dass die Potenz einer Diagonalmatrix, eine Matrix potenzierten Diagonalelementen ist.

$\begin{eqnarray*} D^k \end{eqnarray*}$ ist folglich wieder eine Diagonalmatrix und damit auch die von dir definierten $\begin{eqnarray*} D_k=a_kD^k \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

ich hab nur noch eine Summe von Diagonalmatrizen

... und das ist wieder eine Diagonalmatrix!

26.09.2010, 12:06

gadreel

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Danke, du bist mein Held des Tages! :-)

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