Kompakte Menge

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25.09.2010, 01:23	Therapy83	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompakte Menge Edit (mY+): Bitte KEINE Hilfeersuchen im Titel. Daraus entfernt. Meine Frage: Hallo zusammen Da ich jetzt, aus administrativen Gründen, ne ganze Woche meines Studium versäumt habe, muss ich die Hausübungen nachholen. Ich hab mich jetzt schon ein bisschen mit Mengenlehre beschäftigt. Das Problem ist in meiner Fachlitheratur steht das nicht so detailliert drin. Vielleicht kann mir aber irgendwer zu den folgendem Beispiel eine Erklärung abgeben: Danke auf jeden Fall, ich googel jetzt mal weiter und les mich weiter ein: Definieren Sie folgende Teilmengen in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ X={x,y): $\begin{eqnarray} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ \|x^2+y^2=8, x $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 0} Y={(x,y): $\begin{eqnarray} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ \|x>y} Z=X $\begin{eqnarray} \cap Z \end{eqnarray}$ a)Ist x kompakt? Ist Z kompakt? b)Definiere:f $\begin{eqnarray} \mathbb R^2->\mathbb R \end{eqnarray}$ ; f(x,y)=y, Berechne f(X) und f(Z)? c) Gibt es für max f(x,y) über X Lösungen? Wenn das stimmt finde den Maximizer? Gibt es für max f(x,y) über Z Lösungen? Wenn das stimmt finde den Maximizer? Danke Meine Ideen: Also ich hab mir jetzt mal ur viel Litheratur durchgelesen. Was Menge ist und so weiß ich. Was geschlossen, offen, weder noch, beschränkt, kompakt naja da ist mein Wissen eher mager. Mit vereinigt, ohne und durchschnitt kenne ich mich halbwegs aus. Max und Min, naja auch darüber gelesen aber nicht sicher.
25.09.2010, 02:37	Therapy83	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry habe nen Fehler bei der zweiten Funktion, das soll natürlich: Z= X durchschnitt Y heißen!!!!!!!!!! sorry
25.09.2010, 02:44	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Darfst du benutzen, dass in endlich dimensionalen Räumen kompakt äquivalent ist zu abgeschlossen und beschränkt? Letzteres lässt sich für $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nämlich leicht überprüfen.
25.09.2010, 02:51	Therapy83	Auf diesen Beitrag antworten »
du meinst R hoch n? Dann ja
25.09.2010, 02:59	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das reicht. Naja, was heißt beschränkt? Wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ beschränkt ist, dann müssten wir eine Kugel finden, in der $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ enthalten ist. Eine Kugel (der Einfachheit halber um den Nullvektor) wäre eine Menge der Form $\begin{eqnarray} \{(x,y)\in \mathbb R^2: x^2+y^2<R^2\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0<R^2<\infty \end{eqnarray}$ . Gibt es im Fall von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ so eine Kugel?
25.09.2010, 03:17	Therapy83	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin mir jetzt nicht sicher. Ich tippe mal auf Nein Naja ich denke mir die Funktion ist beschränkt, aber offen, wobei sicher bin ich mir nicht, weil das gilt ja nur wenn sie endlich ist. pfff, wie gesagt, Gebiet, reinstes Neuland
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25.09.2010, 03:22	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Funktion... Guck mal deine Menge ist $\begin{eqnarray} X=\{(x,y): \in \mathbb R^2:x^2+y^2=8, x\geq 0\} \end{eqnarray}$ . Nun nehme ich folgende Kugel (naja in 2D ist es eine Kreischeibe): $\begin{eqnarray} B_{3}(0)=\{(x,y)\in \mathbb R^2: \\|(x,y)\\|_2<3\}=\{(x,y)\in \mathbb R^2: x^2+y^2<9\} \end{eqnarray}$ Ist dann $\begin{eqnarray} X\subseteq B_{3}(0) \end{eqnarray}$ ?
25.09.2010, 03:41	Therapy83	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab jetzt einfach beide Gleichungen miteinander verglichen: x>=0 x^2+y^2<9 wenn ich mir jetzt aus: x^2+y^2=8, x ausdrücke und dann in die andere Gleichung einsetze hätte ich die Bedingung von: 8<9 bestätigt also 8 ist kleiner als 9 und x muss größer als 0 sein, also ist X eine Teinlmenge von B3 wahrscheinlich habe ichs jetzt eh wieder falsch verstanden. Gibst dir ur Mühe, ich weiß. Aber ich habs noch nicht gesagt, ich hab mir das alles selber versucht beizubringen. Habe eine ganze Vorlesungswoche versäumt, da die Uni einen Aufnahmefehler gemacht hat. Sollte aber am Monntag diese Woche beherrschen und das ist ein Thema, wo cih mir , um ehrlich zu sein, ur schwer tu. Hab scheinbar den Trick noch nicht heraus.
25.09.2010, 03:52	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir nicht sicher, ob du das Richtige meinst. Ich sage es mal mit meinen Worten. Sei $\begin{eqnarray} (x,y) \in X \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} x^2+y^2=8 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ . Also ist insbesondere $\begin{eqnarray} x^2+y^2<9 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \\|(x,y)\\|_2<3 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} (x,y)\in B_3(0) \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ beschränkt, denn es gilt $\begin{eqnarray} X\subseteq B_{3}(0) \end{eqnarray}$ . ----- $\begin{eqnarray} x^2+y^2<9 \end{eqnarray}$ folgt natürlich direkt aus $\begin{eqnarray} x^2+y^2=8 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 8<9 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ braucht man hingegen nicht. ----- Nebenbei: Das Komma in der Menge ist als und zu lesen oder? -----
25.09.2010, 03:58	Therapy83	Auf diesen Beitrag antworten »
super, leiwand, danke muss an meiner Ausdrucksweise arbeiten :-)
25.09.2010, 17:31	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht es mit der Beschränktheit von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ (wenngleich danach nicht gefragt wurde...) und $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ aus? Was kann man allgemein sagen, wenn in einem Schnitt eine Menge beschränkt ist? Was kann man allgemein sagen, wenn in einer Vereinigung eine Menge unbeschränkt ist?
25.09.2010, 21:45	Therapy83	Auf diesen Beitrag antworten »
das mit Z verwirrt mich etwas, wiel da brauch ich ja Y, und Y ist nicht kompakt, da offen. naja und ich soll ja jetzt schauen ob X und Y vorkommt
25.09.2010, 21:59	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Achtung: Das Argument eine Menge sei offen und folglich nicht kompakt ist im Allgemeinen falsch. Eine Menge kann zugleich offen und abgeschlossen sein. Sie kann weder offen noch abgeschlossen sein. Und mit offen und kompakt ist es genauso. (Im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ist das nur selten...) Aber du hast in einem Punkt Recht die Menge $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ist offen. Aber woher weißt du das? Wie kommst du darauf? Wenn du mit dem Begriff "offen" besser klar kommst, dann schiebe ich diese Fragen vor: Ist das Komplement von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \setminus X=\{(x,y): \in \mathbb R^2:x^2+y^2< 8\}\cup\{(x,y): \in \mathbb R^2:x^2+y^2> 8\}\cup\{(x,y): \in \mathbb R^2: x< 0\} \end{eqnarray}$ offen? Warum ist das überhaupt das Komplement? Und was sagt uns das über die Abgeschlossenheit und damit Kompaktheit von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ .
25.09.2010, 22:24	Therapy83	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kennst dich voll gut aus :-) ähm Eine Menge ist kompakt inde,m sie beschränkt und abgeschlossen ist Ich schließe bei Y darauf, dass die Menge offen ist, weil x>y, das gibt mir das an was mit Z ist weiß ich nicht, und naja deine Frage, die mir wieder helfen soll, pfff ist mir noch zu komplex, sorry :-(
25.09.2010, 23:31	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich male mal ein Bild... [attach]16122[/attach] Ganz links ist eine schwarze Kreisscheibe. So kannst du dir eine Menge $\begin{eqnarray} \overline{ B_{R}(0)}=\{(x,y) \in \mathbb R^2:x^2+y^2\leq R^2\} \end{eqnarray}$ vorstellen. Das ist eine Kreisscheibe um $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ mit Radius $\begin{eqnarray} R>0 \end{eqnarray}$ . Das Blaue in der Mitte soll den Rand symboliesieren: (naja es ist eher ein Kreisring - ich kann leider nicht 1-D zeichnen...) $\begin{eqnarray} \partial B_{R}(0)=\{(x,y) \in \mathbb R^2:x^2+y^2= R^2\} \end{eqnarray}$ ----- Das Rote ganz rechts soll das Innere symboliesieren: (leider kann man in Wirklichkeit keine offenen Mengen zeichen...) $\begin{eqnarray} B_{R}(0)=\{(x,y) \in \mathbb R^2:x^2+y^2< R^2\} \end{eqnarray}$ Diese offenen Kreisscheiben $\begin{eqnarray} B_{R}(0) \end{eqnarray}$ sind von entscheidender Bedeutung, wenn wir über offene Mengen reden. Zum einen können wir als Mittelpunkt einen beliebigen anderen Punkt $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ wählen. Dann erhalten wir $\begin{eqnarray} B_{R}\Big((x_0,y_0)\Big)=\{(x,y) \in \mathbb R^2: (x-x_0)^2+(y-y_0)^2< R^2\} \end{eqnarray}$ . Außerdem können wir den Radius variieren. Eine Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist nun offen, wenn es möglich ist um jeden Punkt der Menge eine solche Kreisscheibe zu legen, so dass diese in der Menge enthalten ist. In etwa so: (grüne Kreisscheiben um blaue Punkte in der roten Menge) [attach]16123[/attach] Am Rand wäre das hingegen nicht möglich! Da würde die Kreisscheibe ins Weiße hineinragen. ----- Was hat das mit $\begin{eqnarray} x>y \end{eqnarray}$ zu tun? Warum ist $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ offen?
28.09.2010, 21:15	Therapy83	Auf diesen Beitrag antworten »
pfoaaa, ähmmm weil ein > zeichen ist?

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