Krümmungsverhalten und Wendepunkte

25.09.2010, 10:21

CaBa

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Krümmungsverhalten und Wendepunkte

Hallo,

also es geht um die Funktion $\begin{eqnarray*} 1-(lnx)^{2} \end{eqnarray*}$ .

Meine erste Frage hat erstmal nichts mit Wendepunkten bzw. krümmungsverhalten zu tun. Gefragt ist nach den Nullstellen. also erst dachte ich, dass die Funktion nur eine Nullstelle besitzt, nämlich die eulersche Zahl e. Jetzt hab ich die Funktion zeichnen lassen und sehe, dass es zwei Nullstellen gibt. Wie komme ich denn bitte auf die zweite Nullstelle? lnx ist doch schließlich nur für x=e eins.

25.09.2010, 10:26

Iorek

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Du hast Recht wenn du sagst, dass $\begin{eqnarray*} \ln(x)=1 \Leftrightarrow x=e \end{eqnarray*}$ gilt. Du vergisst aber, dass dort $\begin{eqnarray*} \left(\ln(x)\right)^2 \end{eqnarray*}$ steht, dadurch ergibt sich eine zweite Nullstelle (welche Zahlen ergeben quadriert beide 1?).

25.09.2010, 10:52

CaBa

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Also irgendwie versteh ich es nicht. x kann doch nichts negatives sein!?

25.09.2010, 10:54

Iorek

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Wieso sollte x denn auch negativ sein? verwirrt

verwirrt

Wie siehts denn aus mit "welche Zahlen ergeben quadriert beide 1"?

25.09.2010, 10:58

CaBa

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Ich vermute mal 1 und -1. Oder was meinst du?

25.09.2010, 10:59

Iorek

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Ja.

$\begin{eqnarray*} \ln(e)=1 \end{eqnarray*}$ hast du schon, für welches x ist denn jetzt $\begin{eqnarray*} \ln(x)=-1 \end{eqnarray*}$ ? Damit hättest du deine zweite Nullstelle.

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25.09.2010, 11:13

CaBa

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Ja, ok. Ich hab's jetzt. 0,368 sollte die zweite Nullstelle sein.

Also danke fürs Erste. Ich rechne jetzt erstmal weiter, dann kommen die Fragen zum Krümmungsverhalten. Big Laugh

Big Laugh

25.09.2010, 11:15

Iorek

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Das wäre aber nur eine Näherung, kannst du auch den exakten Wert angeben?

25.09.2010, 11:18

CaBa

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Ja, klar.

$\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$

25.09.2010, 11:19

Iorek

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So sieht das schon schöner aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.09.2010, 12:25

CaBa

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Also ich hab's mal durchgerechnet:

Der Extrempunkt müsste die Koordinaten (1/1) besitzen und ist ein Hochpunkt. Der Wendepunkt müsste bei (e/0) liegen.

Stimmt die Wertemenge? $\begin{eqnarray*} W = [1;-\infty[ \end{eqnarray*}$

Jetzt geht's um die Wendetangente. Man soll eine Gleichung angeben. Aber wie bekomme ich die Steigung?

25.09.2010, 13:50

Iorek

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Welcher Zusammenhang besteht zwischen der ersten Ableitung und der Steigung einer Funktion?

25.09.2010, 20:26

CaBa

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hi,

hab's selber rausgefunden. Die Steigung müsste -2/e betragen, wenn ich mich nicht irre.

25.09.2010, 21:11

Iorek

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Du irrst nicht Freude

Freude

26.09.2010, 10:20

CaBa

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Gut, dann geht's weiter. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vorgelegt ist die Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}}{1+x} \end{eqnarray*}$ . Untersuchen Sie Monotonie- und Krümmungsverhalten.

Hab ich gemacht. Erste und zweite Ableitung gebildet. War jetzt nicht ganz so einfach und so sieht die zweite Ableitung aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}(x^{3}+1-x)}{(1+x)^{4}} \end{eqnarray*}$

Glaube aber kaum, dass das richtig ist. Denn soweit ich das sehe, hat diese zweite Ableitung keine Nullstelle. Somit kann ich auch kein Krümmungsverhalten ausrechnen. traurig

traurig

Hier mal die erste ableitung, vielleicht ist da ja schon ein Fehler:

$\begin{eqnarray*} \frac{xe^{x}}{(1+x)^{2}} \end{eqnarray*}$

Hab's doppelt gerechnet und finde keinen Fehler. Anscheinend ist es aber doch falsch. verwirrt

verwirrt

unglücklich

26.09.2010, 11:46

Iorek

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Die erste Ableitung stimmt, die zweite leider nicht, da solltest du nochmal drübergucken. Beachte dabei, dass du zusätzlich zur Quotientenregel jetzt auch die Produkt- und Kettenregel brauchst.

26.09.2010, 13:21

CaBa

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Ok. jetzt hab ich es noch einmal durchgerechnet, aber irgendwie kommt es mir immer noch merkwürdig vor.

Ich mach mal Schritt für Schritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{{[{1}\cdot{e^{x}}+{x}\cdot{e^{x}}]}\cdot{(1+x)^{2}}-[{xe^{x}}\cdot{2(1+x)}]}{(1+x)^{4}} \end{eqnarray*}$

Also jetzt hab ich die Quotientenregel angewendet, dabei noch die Produkt- und Kettenregel. Müsste eigentlich korrekt bis hierher sein?

verwirrt

verwirrt

26.09.2010, 13:42

Iorek

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Bis hier stimmts smile

smile

26.09.2010, 14:09

CaBa

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Ok, dann sollte zusammengefasst das hier rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{{e^{x}}\cdot{(x^{3}+x^{2}+x+1)}}{(x+1)^{4}} \end{eqnarray*}$

Oder hab ich mich irgendwo wieder verrechnet? Hammer

Hammer

26.09.2010, 14:12

Iorek

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Verrechnet nicht, aber unschön aufgeschrieben, du kannst mehr als nur $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ausklammern und danach kürzt sich noch was weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.09.2010, 14:30

CaBa

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unglücklich

Ich wüsste nicht, was ich jetzt noch ausklammern sollte, damit man kürzen kann.

26.09.2010, 14:46

Iorek

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Guck dir mal das $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ an Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.09.2010, 15:53

CaBa

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Also jetzt erklär mich für blöd, aber ich begreif es nicht. Wie soll denn da x+1 ausgeklammert werden? Erstaunt1

Erstaunt1

26.09.2010, 15:57

Iorek

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$\begin{eqnarray*} (e^x+x\cdot e^x)\cdot (x+1)^2-2xe^x\cdot (x+1)=(x+1)\cdot((e^x+xe^x)\cdot (x+1)-2xe^x) \end{eqnarray*}$

So wird das rausgeholt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt kannst du als nächsten Schritt $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ rausholen und dann zusammenfassen.

26.09.2010, 16:13

CaBa

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geschockt

Alles klar!

Dann hat aber die Funktion keine Wendepunkte???

26.09.2010, 16:19

Iorek

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Ganz genau, die Funktion hat keine Wendepunkte.

26.09.2010, 16:24

CaBa

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Naja, gut. Dann hab ich es soweit begriffen. Vielen Dank für deine Hilfe!

Freude

Freude

Big Laugh

Wink

26.09.2010, 16:43

CaBa

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Stopp!!! Hab noch eine Frage. Wie finde ich denn jetzt heraus, welche Krümmung der Graph besitzt?

26.09.2010, 16:46

Iorek

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Wiki sagt:

Zitat:

Als Wendepunkte bezeichnet man diejenigen Punkte, in denen der gegebene Funktionsgraph zwischen Links- und Rechtskrümmung wechselt. Die Art der Krümmung lässt sich - unter gewissen Voraussetzungen - am Vorzeichen der zweiten Ableitung f ''(x) erkennen. Positives Vorzeichen lässt auf Linkskrümmung schließen, negatives Vorzeichen auf Rechtskrümmung.

26.09.2010, 16:46

CaBa

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Ich könnte mir denken, dass es so aussieht:

Im Intervall $\begin{eqnarray*} ]-1;+\infty[ \end{eqnarray*}$ linksgekrümmt

Im Intervall $\begin{eqnarray*} ]-\infty;-1[ \end{eqnarray*}$ rechtsgekrümmt

26.09.2010, 16:48

Iorek

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Stimmt

Freude

26.09.2010, 16:49

CaBa

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Veriss meinen letzten Beitrag. War Quatsch!

26.09.2010, 16:50

Iorek

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Wieso? Stimmt doch was du geschrieben hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.09.2010, 16:51

CaBa

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Echt? Is ja super! Freude

Freude

Manchmal hab ich doch ganz gute Ideen. Big Laugh

Big Laugh

Ok, das war's für heut. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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